回答編集履歴
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追記
answer
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@@ -1,6 +1,9 @@
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要は，「画素の個数を数えたい」という話ですよね．
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contourAreaだと問題がある，ということであるならば，単に画像を自前で走査して数えてやればよいだけの話ではないのでしょうか？
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[追記]
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自前で数えるかわりに，connectedComponentsWithStats あたりが利用できるかもしれません．
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それはそれとして，現状のコードがやりたいことに合っていない（＝求めたい比率を計算する形になっていない）ように見えます．
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修正
answer
CHANGED
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@@ -5,12 +5,17 @@
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それはそれとして，現状のコードがやりたいことに合っていない（＝求めたい比率を計算する形になっていない）ように見えます．
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-
> max_area = cv2.contourArea(max_cnt)
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~~> max_area = cv2.contourArea(max_cnt)~~
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は，２値画像の３つの白い領域のうちの１つの領域だけを相手にして面積を求めており，
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~~は，２値画像の３つの白い領域のうちの１つの領域だけを相手にして面積を求めており，~~
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他方，
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~~他方，~~
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~~> white_area = cv2.countNonZero(binary)~~
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~~では，２値画像の白い画素の総数（：３つの領域全ての面積の総和）を求めています．~~
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~~故に，`white_area/max_area`は1よりも大きくなるでしょう．~~
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> white_area = cv2.countNonZero(binary)
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は，２値画像の白い画素の総数（：３つの白い領域全ての面積の総和）を求めており，
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無関係な２つの領域を含む形になっています．
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