回答編集履歴

- Rails云々はおいといて、データベースの従属と非従属の関係の問題ですね。

- これを踏まえるとhas_oneというのは非従属の関係です。すなわち、何かのメンバに属しているということです。なので、gamemode.countupはゲームの中の得点記録なので問題ないですが、逆にしてしまうと得点の中のゲームという、主従関係が逆となった表現になるので、非従属関係だと表示できません。

- もし、countup.gamemodeで表示したい場合非従属関係のhas oneじゃなくて従属関係のbelongs toで指定する必要があります。