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  上に書いた構成で自分が思い付く方法は、ブラウザに送信する前に Web API の中で正規表現を使って相対 url を絶対 url に書き換えるぐらいですが、サイトルート相対パスならともかくページからの相対パスが使われていると、不可能とまでは言えませんがかなり無理っぽいです。

 

 

  その限りなく不可能に近いことの解決に時間と労力を使うのと、正攻法で行くのを天秤にかければ、間違いなく後者が正解だと思います。