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  [1] 方程式`x^2 = 1`の解は何でしょうか？ `x = 1`だけではありませんよ。`x=-1`もあります。これを忘れないでください。ただし、複素数は以前指摘しましたように、`z=e^(i\theta)`のように角度`\theta`に依存してかけるので、この符号部分は角度依存性によって無視できます。(実際に`\theta`にいくつかのよく知られている値を入れてみてください。`\theta=0, pi`では`z`の符号はどうなるでしょうか？

 

  [2] 複素数`z`の積は、それの複素共役`z* = x - jy`(虚数`j`)との積`|z|^2=x^2+y^2`と、z同士の積`z*z=x^2-y^2+2ixy`と明確に区別されます。この点を考慮ください。

 

  複素数を扱うのは計算を楽にするためだと考えれば、そんなに大したものではありません。数式としてみれば、数直線に乗らない数を扱っているのですが・・・。ところで、この世には`sin`か`cos`から構成される波しか存在しません。全ての波はそれらの足し合わせで書けるわけです。もっというと、`cos`や`sin`の位相部分(角度`\theta`)が整数`n`で指定され、波長(とか周波数)を変えれば、そういった日常的な波を表現できるようになります。これがフーリエ展開です。