回答編集履歴
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式を間違えていた。
answer
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@@ -6,7 +6,7 @@
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複素数は`z=x+iy` (iは虚数) と書かれます。これを複素共役`z* = x-iy`と掛け合わせると`|z|^2=x^2+y^2`となりますね。これは円の定義方程式になっています。何らかの事情で左辺が定数ならば、`|z|^2 = r^2`とおいて`r^2=x^2+y^2`となるのですぐわかりますね。これは半径`r`の円を表しています。ところで、円というのは角度`\theta`を変えても形は変わりません。つまり`x=rcos\theta`, `y=rsin\theta`とおけば、これはよく知られている関係`cos^2\theta + sin^2 \theta = 1`を導きます。この式はいかなる`\theta`においても成り立ちます。この結果から、円の形(つまり定義方程式は)`\theta`によらないことがわかります。
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以上の結果を踏まえますと、`z=re^i\theta`と置くことは非常に効率が良いことがわかります。この複素共役は`z* =re^-i\theta`ですから、`|z|^2=r^2`となり、円の方程式を導きますね。また`e^i\theta =
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以上の結果を踏まえますと、`z=re^i\theta`と置くことは非常に効率が良いことがわかります。この複素共役は`z* =re^-i\theta`ですから、`|z|^2=r^2`となり、円の方程式を導きますね。また`e^i\theta = cos\theta + i sin\theta`を使えば、`cos^2\theta + sin^2 \theta = 1`を導きます。
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このように、複素数はそれ自体、(幾何学的に見る限り)円と関わりが非常に深いわけで、円というのは我々が見慣れている形ですし、扱いやすい。実数`x, y`を考える限り、`\theta`というのが表に出てこないわけですからね。このような議論から、(最終的に実数が欲しい場合において) 極形式というのが扱いやすい形式であること、円と結びついている形式であることがわかります。
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