plot_surfaceで可視化された線形SVMの決定境界を求めるコード(式)が分からない

質問

書籍でカーネル法を用いたサポートベクタマシンを学んでいたときに出てきたコードです。
XXとYYとZZのそれぞれの50個に分割した座標を結んで三次元空間に平面を描画しているというところまでは読み取れたのですが、なぜ高さ方向(Z軸)の座標を求める式はZZ = (coef[0] * XX + coef[1] * YY + intercept) / -coef[2]のように複雑なのでしょうか？
XXとYYそれぞれに係数をかけて足し、切片も足して、さらに3つ目の特徴量の係数で割る...?一体なぜこの式でZ座標が決まるのか全く分からなかったので、分かりやすく解説していただけたらありがたいです。

該当のソースコード

Python
1import numpy as np
2from sklearn.datasets import make_blobs
3from sklearn.svm import LinearSVC
4from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D, axes3d
5
6X, y = make_blobs(centers=4, random_state=8)
7y = y%2
8X_new = np.hstack([X, X[:, 1:] ** 2])
9
10linear_svm_3d = LinearSVC().fit(X_new, y)
11coef, intercept = linear_svm_3d.coef_.ravel(), linear_svm_3d.intercept_
12
13figure = plt.figure()
14ax = Axes3D(figure, elev=-152,azim=-26)
15xx = np.linspace(X_new[:, 0].min() - 2, X_new[:, 0].max() + 2, 50)
16yy = np.linspace(X_new[:, 1].min() - 2, X_new[:, 1].max() + 2, 50)
17
18XX, YY = np.meshgrid(xx, yy)
19ZZ = (coef[0] * XX + coef[1] * YY + intercept) / -coef[2]
20ax.plot_surface(XX,YY, ZZ, rstride=8, cstride=8, alpha=0.3)
21ax.scatter(X_new[mask, 0], X_new[mask, 1], X_new[mask, 2], c="b", cmap=mglearn.cm2, s=60)
22ax.scatter(X_new[~mask, 0], X_new[~mask, 1], X_new[~mask, 2], c="r", marker="^", cmap=mglearn.cm2, s=60)
23
24ax.set_xlabel("feature0")
25ax.set_ylabel("feature1")
26ax.set_zlabel("feature ** 2")
27

実行結果

jbpb0

2022/08/10 23:05 編集

> 一体なぜこの式でZ座標が決まるのか https://manabitimes.jp/math/679 に書かれてるように、 ax + by + cz + d = 0 を満たす点(x, y, z)の集合が平面だからです上記式から cz = -(ax + by + d) z = -(ax + by + d) / c