FacebookはFacebookへのログインや、ログインしたアカウントの情報を取得するためのAPIを提供しています。
そのAPIを各言語ごとに使いやすいようにしたSDKというものがあります。
(Javascript用のSDK,PHP用のSDKなど)
このSDKには、ユーザのメールアドレスとパスワードを与えると、認証処理を行って結果を返してくれる機能や、ユーザの情報を取得するための機能があります。
ですので、お使いの言語に合ったSDKの機能から調べてみるのはいかがでしょうか。
下記URLに、Javascriptを用いてFacebookへのログイン〜ユーザ名の取得までを行うサンプルが掲載されていますので、試してみるといいです。
リンク内容