自動で処理を走らせる方法

OSにもよりますが、定期的にチェッカーを走らせて
条件が合致したものだけ処理をさせればよいのでは？
Linux系ならcron、Win系ならタスクスケジューラあたりが妥当です
環境的にapache+php+mysqlならphpでチェッカーページを用意して
wgetでそのページを読ませる方法なら、定期処理のトリガーは
サーバー自体が管理しなくてもすみます（もちろんサーバーが管理してもOK）

可能です。

例えば安直なやり方ですが、
データベースのトークルームが開設された時間を取得、アクセスされた日時を取得して、指定時間アクセスがなければメールを飛ばすというPHPファイルを、
cronなどで定期実行するように設定してやれば自動でお望みの機能が実装できます。

ただし、データ件数やネットワーク量、アクセス量によっては上記のやり方だとサーバーの負担になることがあります。

タスクスケジューラ相当のアプリケーションを作ってそちらで管理するという方法が良いですかね。
今回の場合、メッセージを送った時点で常に残日数を７日に戻さなければならないため、既存のタスクスケジューラを使うのは重い作業になってしまって難しいでしょう。

例えば期限で常にソートしたコンテナを管理しておき、その期限が最も低いものだけチェックし、期限が切れていれば各イベントに配送するといったものが妥当な設計でしょうか。

具体的に言えば、Redisのソート済みセット型を使うなどが良いでしょう。
期限をスコアとして登録しておき、その最もスコアの低いデータを一定時間ごとにピークします。
スコアの低いデータの値が現在時刻を割っていたら他のサービスに通知を送りましょう。
メッセージが送られるたびにこのスコア値を新しい期限で更新しておきます。

最低限以下のような３種のメソッドが全て実現されていれば実用に耐えるのではないでしょうか。

// トークルームのIDを渡して期限を更新する
UpdateRoomExpirely(roomId);

// 定期的に実行することで期限切れをチェックするメソッド
Check();

// 購入者と販売者の間でやり取りが完了した場合にルームをクローズする
CloseRoom(roomId);

これと同じように催促メールを管理するサービスも作りましょう。

// 購入者のIDを渡して24時間後に期限を設定する
SetReminder(buyerId);

// 定期的に実行することで期限切れをチェックするメソッド
Check();

// 購入者の催促メール設定を解除する
UnsetReminder(buyerId);

なお、２４時間、とか７日間、という値を渡していないのは、サービス側の実装で処理すべきことだと思われるからです。

PHPでどこまでこういった処理ができるのか僕には分からないんですが、常駐アプリケーションを１つ作ってしまった方が簡単だと思います。