WordPressで1つの記事に対して1日1回のコメント制限をかけたい

「ultimate menbers」については知らないので、自力で実装する方法になりますが、
おそらく以下のような関数を実装すればいいかと思います。

function my_comment_filter($comment_post_ID) {

    // $_POSTなどから以下を取得
    // $author : コメント投稿者名
    // $date : 今日の日付
    // $post_id : コメントをつけた投稿ID

    // 上記のパラメータでコメントを取得
    $args = array(
        // $author, $date, $post_id
    );
    $comments_query = new WP_Comment_Query;
    $comments = $comments_query->query( $args );

    if( !empty($comments) ) {
        // コメントが取得できたら、
        // コメント登録処理をwp_die()で停止
    }
    else {
        // それ以外はOK
    }
}
add_action('pre_comment_on_post', 'my_comment_filter');

参考URL

• 【WordPress】不要なコメントを登録しないようにする   at softelメモ
  https://www.softel.co.jp/blogs/tech/archives/3512
• クラスリファレンス/WP Comment Query - WordPress Codex 日本語版
  https://wpdocs.osdn.jp/%E3%82%AF%E3%83%A9%E3%82%B9%E3%83%AA%E3%83%95%E3%82%A1%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%82%B9/WP_Comment_Query