Twitter API v2 でツイートを行う際にPOSTでリクエストが送れない。

前提・実現したいこと

FlutterでTwitter API v2 を用いて，ツイートを行いたいと考えています。
Timelineの取得など，GETでのリクエストは以下のように，正しく値を取得できているのですが、POSTでのリクエストは、「発生している問題・エラーメッセージ」に記載のように403が返ってきてしまいます。

ソースコードの処理の流れとしては、

別のファイルで事前に取得しFirebaseに保存している、access_tokenと、access_token_secretを読み込む。
oauth1を使ってツイートをするためのエンドポイントにリクエストをPOST形式で送信。

という流れです。

GETでのリクエスト
1flutter: [{created_at: Fri Jan 21 13:06:55 +0000 2022, id: 1484512834734424067, id_str: 1484512834734424067, text: 負け癖とか逃げ癖ってなんなんでしょ。
2ユニコーンとかケルベロスみたいなやつ？, truncated: false, entities: {hashtags: [], symbols: [], user_mentions: [], urls: []}, source: <a href="http://twitter.com/download/iphone" rel="nofollow">Twitter for iPhone</a>, in_reply_to_status_id: null, in_reply_to_status_id_str: null, in_reply_to_user_id: null, in_reply_to_user_id_str: null, in_reply_to_screen_name: null, user: {id: 746004913658822657, id_str: 746004913658822657, name: ダイキ@筋トレせよお兄さん🏋🏻‍♂️, screen_name: daiki_kintore, location: 山形⇒京都⇒東京⇒山形⇒大阪(2月〜), description: □座右の銘:ストイックにカッコよく!! ■同志社大卒🎓■元レスリング🤼ユース日本2位・アジア大会出場🇯🇵■大学:学生団体設立幹部→広告代理店営業→人材営業<…>

発生している問題・エラーメッセージ

flutter: {title: Forbidden, detail: Forbidden, type: about:blank, status: 403}

該当のソースコード

import 'dart:convert';
import 'dart:developer';
import 'package:flutter/material.dart';
import 'package:oauth1/oauth1.dart' as oauth1;
import 'package:url_launcher/url_launcher.dart';
import '../header.dart';
import 'package:cloud_firestore/cloud_firestore.dart';
import 'package:firebase_core/firebase_core.dart';
import 'package:http/http.dart' as http;

class Home extends StatefulWidget {
  @override
  _MyWidgetState createState() => _MyWidgetState();
}

class _MyWidgetState extends State<Home> {
  final controller = TextEditingController();
  final platform = oauth1.Platform(
    'https://api.twitter.com/oauth/request_token',
    'https://api.twitter.com/oauth/authorize',
    'https://api.twitter.com/oauth/access_token',
    oauth1.SignatureMethods.hmacSha1,
  );
  final clientCredentials = oauth1.ClientCredentials(
    '＜APIキー＞',
    '＜APIシークレットキー＞',
  );
  late final auth = oauth1.Authorization(clientCredentials, platform);
  oauth1.Credentials? tokenCredentials;

  @override
  Widget build(BuildContext context) {
    String access_token = 'access_token';
    String access_token_secret = 'access_token_secret';
    FirebaseFirestore.instance.collection('test_collection1').get().then((QuerySnapshot snapshot) {
      snapshot.docs.forEach((doc) {
        /// usersコレクションのドキュメントIDを取得する
        print(doc.id);
        /// 取得したドキュメントIDのフィールド値nameの値を取得する
        access_token = doc.get('access_token');
        access_token_secret = doc.get('access_token_secret');

        print(access_token);
        print(access_token_secret);
      });
    });

    final callbackUrl = "api.twitter.com/2/tweets";

    return MaterialApp(
      home: Scaffold(
        appBar: Header(),
        body: Center(
          child: Column(
            mainAxisAlignment: MainAxisAlignment.center,
            children: [
              // ログイン後に表示されたPINを入力
              TextFormField(
                controller: controller,
              ),
              ElevatedButton(
                onPressed: () async {



                  final client = oauth1.Client(
                    platform.signatureMethod,
                    clientCredentials,
                    oauth1.Credentials(
                      access_token,
                      access_token_secret,
                    ),
                  );

                  final res = await client.post(
                    Uri.https(
                      'api.twitter.com',
                      '/2/tweets',
                      {'text': 'テスト'},
                    ),
                  );

                  final body = jsonDecode(res.body);
                  print(body);

                },
                child: Text('ホーム'),
              ),
            ],
          ),
        ),
      ),
    );
  }
}

試したこと

こちらに記載されているソースコードのgetをpostに変更したものでもリクエストを送ってみたが、以下のような返答が返ってきた。（OAuth 2.0では認証してくれないらしい。）

flutter: {
  "title": "Unsupported Authentication",
  "detail": "Authenticating with OAuth 2.0 Application-Only is forbidden for this endpoint.  Supported authentication types are [OAuth 1.0a User Context, OAuth 2.0 User Context].",
  "type": "https://api.twitter.com/2/problems/unsupported-authentication",
  "status": 403
}