まず、Webの知識を身につけた方がいいかなと。
Web系では、フロントエンド/バックエンド/DBの三者があります。
フロントエンドはHTML等のようなユーザが目にするような範囲、バックエンドはサーバ等で処理してフロントに返したりするやつです。
HTMLは単にテキストにメタ情報を付与するだけです。『ここで改行』とかみたいな。ある意味、台本のようなものです。
CSSはHTMLにデザイン情報を付与したりするものです。
ただ、この二つだけでは最近のホームページは作れません。せいぜい、ひと昔前のやつぐらいです。(背景画像をどうにかすればもうちょっとマシにはできるが)
最近のやつだと動的なものが多いです。ましてや今回の場合は明らかに動的なものですよね。なのでJavaScript等のようなプログラミング言語が必要です。
ただし、JavaScriptは単体では一時的な変更しかできません。ボタンが押されたら、(更新されるまでは)別のデザインにするとか。このteratailのようなデータを保持すことはできません。Node.is等を使えば可能ではありますが。
そこでPHP等のサーバサイドの言語を使います。
このPHP等で制御するのです。ただし、PHP等はあくまで最低限の機能を提供しているだけです。なので開発するものによっては面倒だったりします。
なのでフレームワークが使われるのです。
ですから、別のフレームワークを使わなくても作ることは可能です。
ただ、CakePHP等のフレームワークでやるならフレームワーク側がやるような処理もPHPオンリーだと自分でやらないといけません。なので一般的にはフレームワークを使うことが多いんだと思いますよ。
作り方ではなくこれらを満足する言語などを知りたいだけです。
やろうと思えばサーバサイドの言語ならどの言語でもできるはずです。
ただ、『クレジット決算』等のような処理は外部委託っていうか、そういう状態になるのでもしかしたら言語に左右される可能性はあります。
『この機能はPHPのみ』とか。あるいは外部ライブラリとして存在するかどうかとか。
(今回必要そうな機能が)それらがちゃんと揃っているならどの言語でもできます。
あとはせいぜい、Webの基礎知識や法律周りでしょうか。
Webの場合、多くは個人情報を用います。なので適切にあつかわないと…
あと、さらにやるなら『セキュリティ関係』も学んだ方がいいかなと。
いわゆるXSS対策とか。クロスサイトスクリプティング対策。
知らなくとも組めますが、ユーザ的な心情としてはちゃんとセキュリティはできる限りかんぺきにやってほしいと思うものです。XSS対策とかが取れていないとやばいこともあり得ます。
DB関係ですと、『N-1問題』、『DB正規化』とかもですかね。(私はあまり詳しくないですが)
質問にある要求機能はどの言語でも組めます。ほぼ確実に。
生のJavaScriptとかだと厳しいですし、いくら言語的にできても組む人の力量がないとできないとかは確かにありますが、言語的なものだとJavaScript以外では普通に組めるはずです。
ざっと、みた感じ、単純に処理すればいいだけの機能なので。
ユーザーログイン機能
単純にHTML,CSSでガワを作って、DBをセッティングしてDBと連携をとってログインさせるかどうかを決定し、個人ページに移動する。
ユーザーが投稿、削除することができるような仕組み
これもガワを作ってDBと連携して処理すればいいだけ。
お気に入り機能
もうちょっと仕様を詰めないときついですが、一般的にいわれる機能(YouTubeとかみたいな)であればDBのテーブル定義をちゃんとやれば上記のログイン機能とかみたいにすればいいだけです。
つまり、DBと連携を取ることができ、ロジックを記述し、それをHTMLとして出力できるのであればどの言語でもできるはずです。(もちろん、仕様にもよるけど普通に考えたら…)