修正版のオイラー法をpythonで書きたい

Question

修正版のオイラーの法を実行したいと考えています

#こちらは修正前のオイラー法です。
import numpy as np
import math
import matplotlib.pyplot as plt
def func(x, y):
  return y/(2.0*x)
def euler(x0, y0, xmax, num):
  x = np.linspace(x0, xmax, num+1)
  h = (xmax-x0)/num
  y = np.empty_like(x)
  y[0] = y0
  for k in range(len(x)-1):
    y[k+1] = y[k] + h * func(x[k], y[k])
  return x, y
x, y = euler(1.0, 1.0, 2.0, 10)
print('Euler method')
for (xx, yy) in zip(x, y):
  print(f'x: {xx:.2f}, y: {yy:.6f}, true: {math.sqrt(xx):.6f}, error: {math.fabs(yy-math.sqrt(xx)):.6f}')
plt.scatter(x, y, c='m')
plt.plot(x, y, c="c")
plt.grid()
plt.show()

#こちらが修正版オイラー法、k1,k2を使ってさらに誤差を小さくしたいと考えています。
import numpy as np
import math
import matplotlib.pyplot as plt
def func(x, y):
  return y/(2.0*x)
def Fix_euler(x0, y0, xmax, num):
  x = np.linspace(x0, xmax, num+1)
  h = (xmax-x0)/num
  y = np.empty_like(x)
  t = 0
  y[0] = y0
  for k in range(len(x)-1):
    t = t + h
    k1 = h * y[k]
    k2 = h * (y[k]+k1)
    y[k+1] = y[k] + (k1 +k2)/2
  return x, y
x, y = Fix_euler(1.0, 1.0, 2.0, 10)
print('Euler method')
for (xx, yy) in zip(x, y):
  print(f'x: {xx:.2f}, y: {yy:.6f}, true: {math.sqrt(xx):.6f}, error: {math.fabs(yy-math.sqrt(xx)):.6f}')
plt.scatter(x, y, c='m')
plt.plot(x, y, c="c")
plt.grid()
plt.show()

しかし、修正版の方が誤差が大きくなってしまいます。
k1,k2部分の数式が違うかもしれません。
どなたかご教授よろしくお願いします。

Comments

[ppaul]

オイラーの定理とオイラー法は別物ですよ。