ログイン機能の「次回からメールアドレス・パスワードの入力を省略する」について

PHPでログインフォームを作成しています。
メールアドレス、パスワードによって認証する処理になりますが、パスワードは会員登録時に暗号化してDBに保持しています。
ログインフォームでよく見る「次回からメールアドレス・パスワードの入力を省略する」のチェックボックスについても実装したいのですが、
次回以降、入力項目にパスワードを反映しておきたい場合、DB上では暗号化しているので、DBから取得した値をinputに入れる事は出来ないかと思います。

ログイン処理後、ログイン情報を保存するか否かのポップアップがブラウザ側で表示される事があるかと思いますが、ここで保存を選択した場合、入力値はブラウザ上に保存され、次回以降入力を省略できるようになるかと思います。

【やりたいこと】
ログインフォームにて「次回からメールアドレス・パスワードの入力を省略する」のチェックを入れてログインし、その後セッションタイムアウト等でログアウトした後にログインフォームに再アクセスした場合、ログインフォームのinput項目にメールアドレス、パスワードが入力された状態となっていること。

【質問】
「次回からメールアドレス・パスワードの入力を省略する」系の処理では一般的にどのような事が行われているのでしょうか？
そもそもメールアドレスの入力省略はサーバーサイドで管理出来るが、パスワードの省略はブラウザ（クッキー？）に処理を任せるのが一般的でしょうか。

ブラウザ側でログイン情報保存のポップアップが出る事がありますが、これのトリガーは何なのでしょうか？
ブラウザ側が独自に判断しているのでしょうか。もしくは「次回からメールアドレス・パスワードの入力を省略する」等のチェックボックス自体にそのポップアップを表示させる処理を入れていたりするのでしょうか？

いずれにしてもパスワードは暗号化して保持するのが一般的かと思いますので、どのようにして入力項目にそれを入れているのかが知りたいです。

お手数ですが、よろしくお願いいたします。