Firestoreのドキュメント取得の際のタイムアウトのエラーハンドリングについて

Question

Flutter(Dart)とFirebaseでアプリを作っています。

displayName = (await instance.collection('users').doc(ds.id).get())
              .data()['displayName'];

↑のようにFirestoreのドキュメントを取得する際に例えば10秒待って取得できない場合
displayNameに''(空文字)をセットする。
みたいなことをしたい場合どのように書けばいいでしょうか。

        try {
          Future.delayed(Duration(seconds:5,),(){
            throw Exception('eeeeeewwwwwwwww');
          });
          await Future.delayed(Duration(seconds:10),);
          //実際↓のコードを実行すると取得に時間がかかるケースはほぼ無い(時間がかからずに取得できてしまう)
          //ので、試しに↑のように取得できないケースを擬似的に書いてみた。
          /*
          displayName = (await instance.collection('users').doc(ds.id).get())
              .data()['displayName'];
          url = (await instance.collection('users').doc(ds.id).get())
              .data()['photoUrl'];
          */
        }catch(e){
          displayName='time out';
          url=null;
          continue;//(←for文の中なので、10秒以上かかる場合次のループに飛ばしたい。)
        }

上記のようなコードが思い浮かび、これでいけるのではないかと思ったのですが、実際動かしてみると
例外はスローされるのですが、catch節は実行されません(例外が捕捉できていない)。

なぜこれでダメなのかもよくわからないのですが、なぜダメなのでしょうか。
それとこういうケースでの定石(セオリー)の方法はありますでしょうか。

ググってみると、Dioを使うと、こういうタイムアウトのエラーハンドリングを、秒数を設定するだけでできる?みたいなことが書いてあるのですが(英語なのでざっくりした雰囲気だけしかわかりませんが)、「Dioが良さそう」と言われているのは、Dioを使わないとこういう処理を自分で書かないといけないところを、Dioを使えば簡単にできるから、みたいなことがあるのでしょうか?
Dioは使ったことがなく、試してないので実際簡単にできるのかはわかりません。