Servlet でのログイン処理について

boolean judge = false; // 判定 

// 略

while (rs.next() && judge == true) { 

}

while に到達する間に、judge が true になることはありませんので、
永久に while に入ることはありません。
つまり、永久に judge が true になることがないため、ログインできないのでしょう。

あと、判定処理を finally で行っているのもおかしいです。
try句 で例外が起きてしまった場合、conn とか stmt とか rs とか null になると思うので、
NullPointer になると思いますよ。

if (name == user && pass == password)
Javaでは、文字列比較に == を使ってはいけません。

protected boolean authUser(String user, String pass) {

    // DBの読み込み 
    try { 
        Class.forName("oracle.jdbc.driver.OracleDriver").newInstance(); 
        conn = DriverManager.getConnection(url, user_name, user_pass); 
        stmt = conn.createStatement(); 
        sql = "SELECT * FROM MANAGER"; 
        rs = stmt.executeQuery(sql); 

        // 判定 
        while (rs.next()) { 
            String name = rs.getString("ID"); 
            String password = rs.getString("PASSWORD"); 
            if (name.equals(user) && pass.equals(password)) { 
                return true;
            } 
        } 

    } catch (ClassNotFoundException e) { 
        e.printStackTrace();
    } catch (Exception e) { 
        e.printStackTrace();
    } finally { 
        if (rs != null) {
            try {
                rs.close();
            } catch (SQLException e) {
                e.printStackTrace();
            }
        }

        if (stmt != null) {
            try {
                stmt.close();
            } catch (SQLException e) {
                e.printStackTrace();
            }
        }

        if (conn != null) {
            try {
                conn.close();
            } catch (SQLException e) {
                e.printStackTrace();
            }
        }
    } 
    return false; 
}

今はそのままにしてますが、本当は java.sql.Statement は
セキュリティの問題上使ってはいけません。

いかなる時も、java.sql.PreparedStatement を使うようにしてください。
prepareStatementの使用