WebSocket通信とHTTP(S)通信の切り替え

前提

当方、インフラエンジニアです。
アプリの知識が乏しいため、初歩的な内容であったり、要領を得ない説明となっているかもしれませんが、ご容赦ください。

現在、AWSで開発中のシステムについて、アプリ開発担当から以下の要望を受けており、実現するためのインフラ構成を検討しています。

・他のシステムからも呼び出せるよう、開発中システムのアプリをAPI公開したい（関連システム向けのみ。パブリック公開ではない）
・WebSocket通信を利用したい

AWSのAPI GatewayがWebSocketに対応しているため、API Gatewayを採用する方針で検証を行いました。

当初、
クライアント→(WebSocket)→API GW →(WebSocket)→ バックエンド
の想定で検証を行っていたのですが、
APIを実行したところエラーが発生し、AWSに問い合わせると、API Gatewayが想定している構成は
**クライアント→(WebSocket)→API GW →(HTTP/HTTPS)→ バックエンド **
のため、現在の構成では利用不可と回答がありました。
※クライアント、バックエンドはEC2インスタンス(Linux)

前置きが長くなりましたが、以下質問です。

質問内容

API Gatewayが想定しているクライアント→(WebSocket)→API GW →(HTTP/HTTPS)→ バックエンドという構成は、WebSocketをAPI公開するうえで一般的な構成でしょうか？また、この構成でも、クライアント←→バックエンドはWebSocketによる双方向通信ができるのでしょうか？