Dockerのmysqlにログインができません

Dockerのmysqlにログインしようとすると以下のメッセージが出ます。
実行ファイルが所定の場所に見当たらないというエラーだと思うのですが、どこに、何を置けば解決しそうかがわかりません。
ご教授頂けますでしょうか。

docker-compose exec app mysql -h db -u test_user -D test -p
OCI runtime exec failed: exec failed: container_linux.go:349: starting container process caused "exec: \"mysql\": executable file not found in $PATH": unknown

docker-compose psで確認すると以下のようになっており、dbコンテナは起動していると思うのですが、
ログインできない理由が分かりません。

   Name           Command       State        Ports
-------------------------------------------------------
part1_app_1   docker-php-       Up      0.0.0.0:60080->
              entrypoint apac           80/tcp
              ...
part1_db_1    docker-           Up      0.0.0.0:63306->
              entrypoint.sh             3306/tcp,
              mysqld                    33060/tcp

以下の手順で実行すると、mysqlに接続できているようです。
$ docker exec -it part1_db_1 bash
mysql -u test_user -p

$ docker exec -it part1_db_1 bash
root@61b38d80de09:/# mysql -u test_user -p
Enter password:
Welcome to the MySQL monitor.  Commands end with ; or \g.
Your MySQL connection id is 8
Server version: 8.0.22 MySQL Community Server - GPL

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Type 'help;' or '\h' for help. Type '\c' to clear the current input statement.

mysql>

docker-compose exec app mysql -h db -u test_user -D test -p
だとエラーになる理由をご教授頂けますでしょうか。