pythonで二次方程式の実数解や虚数解を求めたいのですが、解が整数でない時、既約分数で表したいです

Question

⼆次⽅程式aX^2+bX+c=0の解を求めるプログラムを作成しているのですが、解が虚数解となる時に虚部が少数となってしまため、分数で表す方法を教えていただきたいです

プログラミング初心者です。現在Colaboratoryというサイトでpythonを用いてプログラミングの学習を行っています。今回、⼆次⽅程式aX^2+bX+c=0の解を求めるプログラムを作成しているのですが、判別式b^2-4ac<0となる、虚数解を持つ時に実部も虚部も分数となることを期待したのですが、少数で表示されてしまいます。また、実数解として仮に３と４を持つとすると、3.0,4.0と表示され、こちらも小数点を除いた3,4で表示されるようにしたいです。方法があれば教えてください。また、作成したプログラミングの改善点があれば指摘してくださるとありがたいです。

作成したプログラム

import math
a=int(input("aに入る数字を入力してください"))
b=int(input("bに入る数字を入力してください"))
c=int(input("cに入る数字を入力してください"))
d=b*b-4*a*c
if a==0:
  if b == 0:
        print("解なし")
  else:
        print("解は",-c/b)
elif d<0:
  s3=-b/(2*a)
  s4=math.sqrt(-1*(d))/(2*a)
  print(s3,"+",s4,"i")
  print(s3,"-",s4,"i")
elif d==0:
  print("解は",-b/(2*a))
else:
  s1=(-b+math.sqrt(d))/(2*a)
  s2=(-b-math.sqrt(d))/(2*a)
  print("解は",s1,s2)

Answer 1

この話は三つのレベルに分けて考える必要があります。

1 数学レベル
二次方程式の解の実部と虚部を分数で書きたい
これはできません。
例えば 二次方程式 x*x = 2 の解は ±√2 (プラスマイナスルート2) ですが、これは有理数(分数)では書けません。

2 一般のプログラミング言語レベル
一般のプログラミング言語では小数(浮動小数点数)は、有限の有効数字しか表現できません。
例えば、C言語でもpythonでも√2(ルート2)は1.4142135623730951と表示されます。
本当の√2(ルート2)は無限小数ですから、1.4142135623730951はある桁で打ち切った近似値です。
(より正確には二進法で52ビットの仮数部を十進数に変換して約16桁で表示した表現)
C言語などでは、これを整数(最大64ビット)の比率で表すことができません。

小数計算は以下のように誤差が出ることに注意してください。

>>> math.sqrt(2)**2
2.0000000000000004
>>> (1.0 / 49.0) * 49.0
0.9999999999999999

3 python3以降での分数表現
python3以降では、整数が(メモリが許す限り)無限の桁数を持つようになりました。
このため、√2(ルート2)の近似値である1.4142135623730951を6369051672525773/4503599627370496と分数で表すことができます。もちろん、数学的には正しくありません。

数学的に間違った答えを書いても意味がないと思うなら、あきらめてください。
数学的に間違っていていいので、分数で書きたいという事であれば、以下のようにして下さい。

import math
import fractions

def quad_equation(a, b, c):
    fa = fractions.Fraction(a)
    fb = fractions.Fraction(b)
    fc = fractions.Fraction(c)
    fd =fb * fb- 4 * fa * fc
    if fa == 0:
       if fb == 0:
           return ["no solution"]
       else:
           return [str(-fc / fb)]
    else:
        s_1 = -fb / (2 * fa)
        if fd == 0:
            return [str(s_1)]
        elif fd < 0:
            s_2 = fractions.Fraction(math.sqrt(-1 * fd) / (2 *fa))
            if s_1 == 0:
                return [str(s_2) + "i", str(s_2) + "i"]
            else:
                return [str(s_1) + " + " + str(s_2) + "i", str(s_1) + " - " + str(s_2) + "i"]
        else:
            s_2 = fractions.Fraction(math.sqrt(fd) / (2 *fa))
            return [str(s_1 + s_2), str(s_1 - s_2)]

if __name__ == '__main__':
    print(quad_equation(0,0,0))
    print(quad_equation(0,1,2))
    print(quad_equation(1,-2,1))
    print(quad_equation(1,3,2))
    print(quad_equation(1,0,2))
    print(quad_equation(1,1,10))

Answer 2

質問者様のやりたいことは、sympyという代数計算ライブラリを使うことで、実現可能です。

参考: Sympy : Python での代数計算

ただ、初心者とされている質問者様にご理解いただきたいのは、上記を使ってやりましょう、ということではなく、プログラミング一般にまつわる以下の事実です。

• 計算誤差を許容して使うことが多く、数学問題のように計算誤差を許容しない思想は実現が困難である。
• 手順を表現してあげる必要がある。すなわち、式を分数を使って解くといった、難しい手順（約分やルートを虚数も意識して開く、などの様々な要素を考えつつ式計算する）を考える必要があることは、実現が困難である。

よって、質問者様が今回感じた課題は、本質的に困難であることです。

ただし、困難であるというだけで不可能ではありません。そのような取り組み・仕組みもいろいろあり、その１つが今回ご紹介しているsympyです。今回の質問者様の例の場合、なんと、2次方程式の解の公式から、自動計算してくれます。計算結果も、分数・ルート・虚数記号を織り交ぜた、期待のものになっています。

なお、jupyter notebookだと、結果をLaTexの綺麗な形にもしてくれます。学校の先生が、問題と解答を大量生産するのに役立ちます。笑

よって、質問者様がプログラミングを学習しようとしているのであれば、コードの改善点を考える以前に、難しいテーマを設定してしまったことをご理解いただくことをオススメします。別のテーマでプログラミング学習を少しずつすすめ、実力をつけたいつの日か、このテーマに再度立ち向かっていただくと、よいと思います。なお、いつの日か、は1年後かもしれませんし1週間後かもしれません。

なお、質問者様が学校の先生であればsympyを道具としてフル活用することを、オススメします。笑

import sympy as sp

sp.var('x, a, b, c')
sol_formulas = sp.solve (a*x**2 + b*x + c, x)

print(sol_formulas)

A=int(input("aに入る数字を入力してください"))
B=int(input("bに入る数字を入力してください"))
C=int(input("cに入る数字を入力してください"))

sol1 = sol_formulas[0].subs([(a, A), (b, B), (c, C)])
sol2 = sol_formulas[1].subs([(a, A), (b, B), (c, C)])

print(sol1, ',', sol2)

実行例

[(-b + sqrt(-4*a*c + b**2))/(2*a), -(b + sqrt(-4*a*c + b**2))/(2*a)]
aに入る数字を入力してください1
bに入る数字を入力してください2
cに入る数字を入力してください-8
2 , -4

[(-b + sqrt(-4*a*c + b**2))/(2*a), -(b + sqrt(-4*a*c + b**2))/(2*a)]
aに入る数字を入力してください1
bに入る数字を入力してください1
cに入る数字を入力してください-3
-1/2 + sqrt(13)/2 , -sqrt(13)/2 - 1/2

[(-b + sqrt(-4*a*c + b**2))/(2*a), -(b + sqrt(-4*a*c + b**2))/(2*a)]
aに入る数字を入力してください1
bに入る数字を入力してください1
cに入る数字を入力してください4
-1/2 + sqrt(15)*I/2 , -1/2 - sqrt(15)*I/2

Answer 3

fractionsモジュールのFractionを使えば分数での計算は可能です。
ただ、math.sqrtで無理数が返ってきたら、分数で計算するのは不可能となります。
無理やり近似値の分数に変換することは可能ですが・・・

import math
from fractions import Fraction
a=Fraction(input("aに入る数字を入力してください"))
b=Fraction(input("bに入る数字を入力してください"))
c=Fraction(input("cに入る数字を入力してください"))
d=b*b-4*a*c
if a==0:
  if b == 0:
        print("解なし")
  else:
        print("解は",-c/b)
elif d<0:
  s3=-b/(2*a)
  s4=(Fraction(math.sqrt(-1*(d)))/(2*a)).limit_denominator()
  print(s3,"+",s4,"i")
  print(s3,"-",s4,"i")
elif d==0:
  print("解は",-b/(2*a))
else:
  s1=((-b+Fraction(math.sqrt(d)))/(2*a)).limit_denominator()
  s2=((-b-Fraction(math.sqrt(d)))/(2*a)).limit_denominator()
  print("解は",s1,s2)

Answer 4

分数となることを期待したのですが、少数で表示されてしまいます

分母と分子を別々に計算して、分母と分子の最大公約数を求めた後、それで分母分子をそれぞれ割って出力するコードを書けば良いのではないでしょうか