python ユークリッド距離で近似誤差のグラフを出力する。（２）

Question

ユークリッド距離を使って、フ―リエ展開した関数と元の関数の近似誤差のグラフを出力するプログラムを完成させたいです。
fse103.pyのようなグラフが出力されると成功なのですが、上手くいきません。
出力をすると、誤差が指数関数的に増えていくというありえないグラフになります。
def diff(K)内のs=の式を変えてみたりしたのですが、上手くいきませんでした。
func(t,k)の関数は他のプログラムでグラフとして出力できているので、問題があるとしたら、def diff(K)です。
上手くいかないプログラムはfa104.pyです。
どなたか詳しい方、ご指摘をお願いします。
～追記～
fa104.pyの元の関数はf(t)= 1 (-π <= t < 0) かつ 0 (0 <= t <π)とtを関数上に記述しないので、どうプログラムで表現すればいいか悩んでいます。

#fse103.py
# -*- coding: utf-8 -*-
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def func(t,k):
    return 2.0*np.power(-1.0,k+1)*np.sin(k*t)/k

def diff(K):
    dt =  0.01
    start   = -1.0*np.pi
    end     =  1.0*np.pi
    t = np.arange(start, end, dt)  
    s = 0*t
    for k in range(1,K):
      s = s + func(t,k)
    return np.linalg.norm(s-t, ord=2)

# maxK = np.arange(-np.pi, np.pi, 0.01).size
maxK = 100
K = np.arange(1,maxK, 1)  
r = []
for k in range(1,maxK):
  r.append( diff(k) )

fig=plt.figure(0)
plt.plot (K, r, linewidth=1.0, color="r",linestyle="solid",label="$ f(t)=t $")
plt.xlabel("$K$-th approximation", fontsize=14, color="black")
plt.ylabel("error", fontsize=14)
plt.grid()
plt.legend()
plt.show()
fig.savefig('fig323.pdf')

#fa104.py
# -*- coding: utf-8 -*-
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def func(t,k):
    return 2.0*np.sin((2.0*k-1.0)*t)/(2.0*k-1.0)*np.pi

def diff(K):
    dt =  0.01
    start   = -1.0*np.pi
    end     =  1.0*np.pi
    t = np.arange(start, end, dt)  
    s = 0*t
    for k in range(1,K):
      s = s + func(t,k)
    return np.linalg.norm(s-t, ord=2)

# maxK = np.arange(-np.pi, np.pi, 0.01).size
maxK = 100
K = np.arange(1,maxK, 1)  
r = []
for k in range(1,maxK):
  r.append( diff(k) )

fig=plt.figure(0)
plt.plot (K, r, linewidth=1.0, color="r",linestyle="solid",label="$ f(t)=t $")
plt.xlabel("$K$-th approximation", fontsize=14, color="black")
plt.ylabel("error", fontsize=14)
plt.grid()
plt.legend()
plt.show()
fig.savefig('fig323.pdf')

Comments

[toast-uz]

diff(K)は、f(t) = s = func(1, t) + func(2, t) + func(3,t) +・・・と、g(t)=t の差分を求めるものになっています。return np.linalg.norm(s-t, ord=2) が差分のL2-normを求めている部分です。
すなわち、コードとしては、f(t)がフ―リエ展開した関数、g(t)=tが元の関数、ということを表していますが、認識はあっていますでしょうか？おそらくg(t)が認識と違うのでは、と思います。

[tiroha]

回答ありがとうございます！
なるほど。fa104.pyの元の関数はf(t)= 1 (-π <= t < 0) かつ 0 (0 <= t <π)とtを関数上に記述しないので、どうプログラムで表現するか悩んでいました。

Answer 1

質問者様のコードでは、差分計算のための元の関数がt→tという恒等関数になっており、かつ差分ノルム計算関数diffの中に埋め込まれています。変換前後の差分計算をするためには、元の関数も対応して修正する必要があります。

元の関数、変換後の関数（K項まで展開）、差分ノルム計算、を区別して、質問者様のコード前半を、以下のように実装すると、修正忘れが無くなると思います。関数の中身は、本来比較したいものに修正ください。なお、こういったnumpy配列を入力とする関数を作る際には、np.vectorizeを使うと便利です。

# 変換元関数
def func_f(t):
    def func_f_element(t):
        if -np.pi <= t < 0:
            return 1 # func_f(t) = t
        if 0 <= t < np.pi:
            return 0
    f = np.vectorize(func_f_element)
    return f(t)

# 変換先関数 K項まで展開
def func_g(t, K):
    def func_g_k(t,k):
        return 2.0*np.power(-1.0,k+1)*np.sin(k*t)/k
    s = 0*t
    for k in range(1,K):
      s = s + func_g_k(t,k)
    return s

def diff(K):
    dt =  0.01
    start   = -1.0*np.pi
    end     =  1.0*np.pi
    t = np.arange(start, end, dt)
    return np.linalg.norm(func_g(t, K)-func_f(t), ord=2)

Comments

[tiroha]

回答ありがとうございます。
さっそく書き加えて、組み込んでみたのですが、コンパイルが通りませんでした。
エラー内容は
Traceback (most recent call last):
File "fa104.py", line 50, in <module>
r.append( diff(k) )
File "fa104.py", line 43, in diff
return np.linalg.norm(func_g(t, K)-func_f(t), ord=2)
File "fa104.py", line 23, in func_f
if -np.pi <= t < 0:
ValueError: The truth value of an array with more than one element is ambiguous. Use a.any() or a.all()
とでます。if文の確認は何度もしましたが、どこが間違いなのかよくわかりませんでした。
a.anyは真理判定なので必要ないと思いますがどうでしょうか？

[tiroha]

```python
# -*- coding: utf-8 -*-
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 変換元関数
def func_f(t):
if -np.pi <= t < 0:
return 1 # func_f(t) = t
if 0 <= t < np.pi:
return 0

# 変換先関数 K項まで展開
def func_g(t, K):
def func_g_k(t,k):
return 2.0*np.sin((2.0*k-1.0)*t)/(2.0*k-1.0)*np.pi
s = 0*t
for k in range(1,K):
s = s + func_g_k(t,k)
return s

# 差分ノルム計算
def diff(K):
dt = 0.01
start = -1.0*np.pi
end = 1.0*np.pi
t = np.arange(start, end, dt)
return np.linalg.norm(func_g(t, K)-func_f(t), ord=2)

# maxK = np.arange(-np.pi, np.pi, 0.01).size
maxK = 100
K = np.arange(1,maxK, 1)
r = []
for k in range(1,maxK):
r.append( diff(k) )

fig=plt.figure(0)
plt.plot (K, r, linewidth=1.0, color="r",linestyle="solid",label="$ f(t)=t $")
plt.xlabel("$K$-th approximation", fontsize=14, color="black")
plt.ylabel("error", fontsize=14)
plt.grid()
plt.legend()
plt.show()
fig.savefig('fig323.pdf')

```

[toast-uz]

tはnumpy配列ですので、普通の感覚で計算はできません。マイナスで1、プラスで0の関数を作りたいのであれば以下のようにします。

def func_f(t):
return (t < 0).astype(int) # t<0なら1, t>=0なら0

また上記のような記述がパッと浮かばなければ、普通の関数を「numpyベクトル化」するvectorizeというものがあり、こちらを使うとよいでしょう。インデントが表せないため、わかりにくいかもですが、元の関数をfunc_f_elementとして内側に書き、vectorizeした関数fを仲介して値を返します。
def func_f(t):
def func_f_element(t):
if -np.pi <= t < 0:
return 1 # func_f(t) = t
if 0 <= t < np.pi:
return 0
f = np.vectorize(func_f_element)
return f(t)

[tiroha]

回答ありがとうございます。
なるほど。ベクトルと普通の数字を比較できないわけですね。
上の記述はピンとこなかったので、下の記述を参考にさせていただきます。

# -*- coding: utf-8 -*-
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def func_f(t):
def func_f_element(t):
if -np.pi <= t < 0:
return 1 # func_f(t) = t
if 0 <= t < np.pi:
return 0
f = np.vectorize(func_f_element)
return f(t)

# 変換先関数 K項まで展開
def func_g(t, K):
def func_g_k(t,k):
return 2.0*np.sin((2.0*k-1.0)*t)/(2.0*k-1.0)*np.pi
s = 0*t
for k in range(1,K):
s = s + func_g_k(t,k)
return s

# 差分ノルム計算
def diff(K):
dt = 0.01
start = -1.0*np.pi
end = 1.0*np.pi
t = np.arange(start, end, dt)
return np.linalg.norm(func_g(t, K)-func_f(t), ord=2)

# maxK = np.arange(-np.pi, np.pi, 0.01).size
maxK = 100
K = np.arange(1,maxK, 1)
r = []
for k in range(1,maxK):
r.append( diff(k) )

fig=plt.figure(0)
plt.plot (K, r, linewidth=1.0, color="r",linestyle="solid",label="$ f(t)=t $")
plt.xlabel("$K$-th approximation", fontsize=14, color="black")
plt.ylabel("error", fontsize=14)
plt.grid()
plt.legend()
plt.show()
fig.savefig('fig323.pdf')

def func_f(t)内の最後のreturnはreturn fではないんですか？

また、これをコンパイルすると
File "fa104.py", line 36, in <module>
r.append( diff(k) )
File "fa104.py", line 29, in diff
return np.linalg.norm(func_g(t, K)-func_f(t), ord=2)
TypeError: unsupported operand type(s) for -: 'float' and 'NoneType'
と出てきて、型が違うもの同士を計算しようとしていて、エラーが出てきます。
型は特に指定していないので、同じだと考えていましたが、違いますか？型の違うものを計算するにはどうすれば良いでしょうか？

[toast-uz]

私の方ではうまく動いていますので、おそらくfunc_f(t)の関数のどこかで、インデントが違うのではと思います。最新の回答を貼っておきましたので、確認ください。なおreturn f(t)はこれで正しいです。この場合、fはnumpy配列→numpy配列の関数です。それに実際のnumpy配列t （x軸に相当）を入れることで、結果のnumpy配列（yの値に相当）を求める必要があります。比較対象のgも同様の形式ですので。

[tiroha]

回答ありがとうございます。
ご指摘の通り、func_f(t)関数内のインデントが違っていたようです。
エラーが出なくなりました。しかし、グラフを出力すると近似誤差がどんどん大きくなっていきます。
理想としては０に近付くようなグラフを出力したいです。
ノルム計算が違うのかと思って、
return np.linalg.norm(func_f(t)-func_g(t, K), ord=2)
と書き換えても同じ結果が出力されます。

[toast-uz]

> グラフを出力すると近似誤差がどんどん大きくなっていきます
実際にfとgはかけ離れていますので、結果は当然です。もはやコードの問題ではなく、数学の問題です。展開ができていません。

[tiroha]

回答ありがとうございます。再計算したら、展開した式が違いました。