WebView内でのファイルダウンロードイベントが起動しない

Flutterを使用してAndroidアプリの開発を行っています。

一部機能を実装するにあたり、WebViewを使用してWebサイトからファイルをダウンロードさせたいのですが、WebViewでファイルダウンロードのリンクを起動しても応答せずファイルのダウンロードが始まりません。

通常のブラウザではファイルダウンロードが動くため、Webサイト側には問題が無いと思われるのですが、アプリ側の問題も検出できず、なにかヒントになるような情報でも構いませんのでアドバイスいただけると幸いです。

実装したい機構

自社Webページより特定のユーザ設定ファイルをユーザ操作でダウンロードし、ダウンロードを検知したタイミングでイベント起動・ファイルの内容をAndroidアプリに読み込ませたい。

実施したこと

対象環境

Androidアプリ/Flutter

使用しているライブラリ

webview_flutter: 1.0.5

実装コード

以下Widget内でファイルダウンロードのリンクをタップしてもダウンロードが始まらない。
※ファイルダウンロードのリスナーは未実装
※UA/URLはダミーのものです

Dart
1WebView(
2          userAgent: "UA-Info",
3          initialUrl: "URL-dummy",
4          javascriptMode: JavascriptMode.unrestricted,
5        ),

補足

本来ならWebViewなどを経由せず直接所定のファイルをダウンロードしてしまったほうが良いのですが。
母体サービスの仕様制限上、ユーザの設定情報がWebサイト経由でしかダウンロードできず、変則的な実装になっています。
ChromeCustumTabsを使用してファイルをダウンロードする方法も検討しましたが、ファイルのダウンロードをアプリ側で検知できなかったため、WebViewを使用した方法を模索しています。