実現したいこと

考えていること

ansibleもgitも詳しくないのですが、上記のやり方よりスマートなやり方はありますでしょうか？

基本的にその流れで問題ないかと思います。
実行中にエラーが発生した場合にファイルが残ったりすると思うので、その考慮はしといたほうがいいかもしれないですね。

ansibleのcommandモジュールでgit cloneで対象サーバ上にスクリプトを取得

gitモジュールがありますので、そちらをお使いください。
https://docs.ansible.com/ansible/latest/modules/git_module.html

ansibleのfetchモジュールで実行したスクリプトのログを収集

スクリプトの実行後にログファイルを出力するのであれば、それでよいかと思います。
ログファイルではなく標準出力にもログが出力されているのであれば、commandモジュールのregisterに実行結果を収集してもよいかと思います。

ログ収集サーバとかがあるのであれば、fluentdとかで転送してもらうのもありかなと。