2直線が平行かどうかを知るための外積をしてその結果が0かどうか判定するときのベクトル == 0.0のベクトルをどうすればいいか知りたい

Question

タイトル通りですが「二つの直線が平行かどうかを知るための関数isParallel();関数で　まず外積をしてその結果のベクトルをどうやってif(ベクトル == 0.0){ }」すればいいか知りたいです。Length();と LengthSq();どちらを使えばいいのでしょうか？長さではないのでLengthSq();を使うと考えましたがその場合なぜこっちなのでしょうか？
※まだ関数自体が未完成なのでfloat型による誤差のif文はまだ実装してません。
参考サイトからお借りしました。
参考サイト: http://marupeke296.com/COL_3D_No0_Primitive.html

/*長さ*/
float Vector::Length()
{
	return sqrtf( LengthSq() );
}


float Vector::LengthSq()
{
	return ((x * x) + (y * y) + (z * z));
}

/*外積 ベクトル　ｘ　ベクトル*/
Vector Vector::cross(Vector a, Vector b)
{
	return Vector((a.y * b.z) - (a.z * b.y),
		(a.z * b.x) - (a.x * b.z),
		(a.x * b.y) - (a.y * b.x));

}

/*平行かどうか判定*/
bool Vector::isParallel(Vector a, Vector b)
{
	Vector r = cross(a,b);
	printf("a X bの外積: %.2f\n",r.LengthSq());
	if(r.LengthSq() == 0)
	{
		return true;
	}else{
		return false;
	}

}
	

Answer 1

Length();と LengthSq();どちらを使えばいいのでしょうか？長さではないのでLengthSq();を使うと考えましたがその場合なぜこっちなのでしょうか？

平方根は非常に重い計算ですので、長さの2乗は長さより圧倒的に速く計算できます。
よって、処理の目的からしてどちらでもよいならば、長さの2乗を使うべきです。

Answer 2

Length();と LengthSq();どちらを使えばいいのでしょうか？

ベクトルの長さの定義でいえば、Length() のほうを使うべきですが、
今回の場合、sqrt(x) == 0 となる必要十分条件は x == 0 なので、どちらでもよいです。

float型による誤差のif文はまだ実装してません

浮動小数点同士の比較で == を使うのは、浮動小数点演算は丸め誤差が発生するので NG です。
2つの浮動小数点数 x, y が一致するかを比較するとき、それらが十分近いかどうかで判定します。例えば、差が閾値 tol 未満かどうかで判定します。

std::abs(x - y) < tol

今回の場合、std::abs(LengthSq() - 0) < tolで、LengthSq() >= 0 なので、絶対値は不要で、LengthSq() < 0.0001f のように十分小さい値かどうかで判定すればよいでしょう。

Comments

[fana]

・Length()やLengthSq()は負の値にならないと思うので，absは不要に思えます．
・比較値を決める際に，２つのベクトルの長さを用いる方が良いような気もしますが(sinθの値に対して閾値判定する的な意味で．正規化的な？)，どうなんでしょう？

[tiitoi]

コメントありがとうございます。

> Length()やLengthSq()は負の値にならないと思うので，absは不要に思えます．
確かに今回は0以上なので、abs はいらないですね。

> 比較値を決める際に，２つのベクトルの長さを用いる方が良いような気もします

確かに x, y を比較するとき、abs(x - y) < tol と絶対誤差で比較するより、abs(x - y)/abs(x) < tol のように相対誤差で比較するほがいいとかの話がありますが、丸め誤差の話になると本題から逸れてしまうので、一例として、絶対誤差の比較方法を紹介しました。

[fana]

offtopic気味な話で恐縮でした．
「話はわかったが，じゃあその閾値って，実際いくつにするんです？」的な話への参考にでもなるかな？，的な，そんな話でした．

[tiitoi]

判定基準はこれが正解というのはないので難しいですね。
どのぐらいの精度が必要なのかによると思います。3DCG 用途であれば、要求精度は単精度でも十分なぐらいなので、判定もある程度適当でいいのではないかと思ってます。

[fana]

本件について言えば「平行かどうか」というのは，「２つのベクトルの　成す角度θ　に関しての判断」になるかな？　と思ったので，
sinθやcosθの値に対しての不等号を書くのが理にかなっている(?)かな，とか．
とはいえ，実際上は，ベクトルのノルムによる影響が目に見えて問題にならない限りは，簡便な方法で良いだろうと思うのですが．
ただ，「この閾値って何？（どんな意味の値？）」というのがあると，閾値を決める際に考えやすい的な面はあるかも感です．

[fana]

e.g.
「AとBの成す角が1度以下の場合にはもう"平行"ってことでいいや」とかいう方針を，
|cross( A,B )| <= |A|*|B|*sin(1度)
と書く的な．
( where, "| x |" means the norm of vector x. )

[tiitoi]

なるほど。長さだと閾値のスケールが分かりづらいですが、角度だとわかりやすいですね。参考になりました。コメントありがとうございます。

[退会済みユーザー]

なるほど。if文のこんな感じにしてみたのですがこれは別に平気？なのでしょうか？
#define _OX_EPSILON_ 0.000001f // 誤差

/*平行かどうか判定*/
bool Vector::isParallel(Vector a, Vector b)
{
Vector r = cross(a,b);
printf("a X bの外積: %.2f\n",r.LengthSq());
float f = r.LengthSq();

if( -_OX_EPSILON_ < f && f < _OX_EPSILON_)
{
printf("自作関数　平行です。");
return true;
}else{
printf("自作関数　平行はありません。");

return false;
}

}

[tiitoi]

それでいいと思いますよ。
fana さんのコメントにあるように r.LengthSq() = sqrt(x^2 + y^2 + z^2) >= 0 であるので、
-_OX_EPSILON_ < f && f < _OX_EPSILON_
は
f < _OX_EPSILON_
だけでもいいです。

[fana]

・「アンダースコア＋大文字　で始まるやつは予約されている」とかいうC++仕様が云々…な可能性．
・回答およびコメントでのabsに関する話を読んでるならifの条件はそうはならないだろ，とか思う．
・「平気」か否かは，最終的には自身が動作を見て決めることである．（閾値の可否が用途次第なので）

[fana]

bool Vector::isParallel(Vector a, Vector b, float Thresh = 0.000001f)
{
...
if( f < Thresh )
...
}
とかしておいても良いかも．

[退会済みユーザー]

質問ですが　f <= 0.0000001f; この = つまり同じ値が来た場合もう0以上なのでelseする必要がるという見方いいのでしょうか？

[tiitoi]

どういう意味でしょうか？「 f <= 0.0000001f; の意味は、本来は0になる値でも数値計算だと丸め誤差の影響で厳密に0にはならないから、非常に0に近い値は0であると判定しましょう」という意図の処理です。0.0000001f 以上の値が来たら、平行でないと判定されますが、それは意図どおりです。丸め誤差が大きくなって、平行であると判定してほしいものが if 文に引っかからず、平行でないと判定されてしまうのであれば、閾値をもう少し大きい値にすればよいです。

Answer 3

↓の内容はダメです．うっかり２次元で考えてました．

---

質問の趣旨から外れますが，外積ではなく内積を使って判定するならば

Length();と LengthSq();どちらを使えばいいのでしょうか？

というのを考えなくて良いように思えます（内積はスカラーなので）．

「AとBが平行か？」という問題のは，
「Aに直交するA'があるとき，A'とBは直交しているか？」という問題に置き換えることができ，
「直交しているか？」というのは「内積が0かどうか」として判定できます．

Comments

[episteme]

> 「Aに直交するA'があるとき，A'とBは直交しているか？」という問題に置き換えることができ
ホント?
「X軸とY軸は直交し、Y軸とZ軸は直交してる」ので X軸とZ軸は平行ってことになるぞ?

[fana]

おおっと！　なぜかナチュラルに「２次元で」考えてました……
これはいけない．
低評価を依頼する次第．(自分で低評価押せないシステムが不便）

[fana]

（だいたい，２Ｄならば外積はスカラー扱いやんっていう．完全に脳がバグっている．どうかしてる．）

[fana]

Why +評価 ?