【Java】　String.formatメソッド、IllegalArgumentExceptionクラスのスロー、charAtメソッドがわからない。

import java.util.*;

public class RyoMatrix {
    public static void main(String args[]) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in); //Scannerクラスのインスタンス初期化
        Random random = new Random();//Randomクラスのインスタンス初期化

        System.out.println("検査ビット長の長さを任意の自然数で入力してください。");

        int m = scanner.nextInt(); //m:検査ビット長(inspectionBit)
        int n = (int)Math.pow(2, m)-1; //n:符号語長(codewordLength)　n=2^m-1
        int k = n-m; //k:情報ビット数(informationBit)　k=n-m

        System.out.println("検査ビット長の長さは"+m+"、符号語長は"+n+"、情報ビット数は"+k+"となります。");

        // パリティ検査行列H作成(k*n行列)
        int matrixH[][] = new int[m][n]; // Matrix k x n

        for (int i = 0; i < m; i++) {
            for (int j = 0; j < m ; j++) {
                if (i == j) matrixH[i][j + k] = 1; //基本行列の1の部分
                else matrixH[i][j + k] = 0; //基本行列の0の部分
            }
            for (int l = 0; l < k; l++) { 
                matrixH[i][l] = random.nextInt(2); //ランダムで0か1を与える。
            }
        }

        System.out.println("matrixH =");
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            System.out.print("["); //行数分の[を表示
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                System.out.print(matrixH[i][j]); //行列Hを表示
            }
            System.out.print("]\n");
        }
        System.out.print("\n\n");


 //**       // Nx1行列作成(0000000~1111111)
        int matrixX[][] = new int[n][1]; //xはn行1列の行列
        String fmt = "%0" + n + "d"; //n桁を0埋めするフォーマット
        int count = 0; //符号語の総数の初期値

        System.out.println("符号語Cを列挙します。");
        System.out.println("C =");
        System.out.println("{");

        //(0000000~1111111)
        for (int i = 0; i < Math.pow(2, n); i++) {
            String matrixString = String.format(fmt, Long.parseLong(Long.toBinaryString(i)));//2進数表記に変換（toBinaryString）
            for(int j = 0; j < n; j++) {
                matrixX[j][0] = Integer.parseInt(String.valueOf(matrixString.charAt(j))); //String型をint型に変換
            }

            // Nx1の行列の判定
            Boolean isZero = multiplicationOfMatrix(matrixH, matrixX); //multiplicationOfMatrixメソッドの結果が返される

            if (isZero) {
                count += 1; //符号語の数を数える
                System.out.print("(");
                for(int j = 0; j < n; j++) {
                    System.out.print(matrixString.charAt(j)); //Hx=0となる符号語を出力
                    matrixX[j][0] = Integer.parseInt(String.valueOf(matrixString.charAt(j)));//charAtメソッド:j行0列目の文字列を抜き出す
                }
                System.out.print(")\n");
            }
        }
        System.out.println("}");
        System.out.print("\n\n");
        System.out.print("総数" + count + "個\n"); 

        scanner.close();
    }

    //行列の計算メソッド
    public static boolean multiplicationOfMatrix(int[][] parity, int[][] x) {
        int parityY = parity.length;
        int parityX = parity[0].length;

        int xY = x.length;
        int xX = x[0].length;

        if(parityX != xY){
            throw new IllegalArgumentException("ERROR: INPUT CORRECT MATRIX"); //メソッドの引数が不正だった場合にスローする例外クラス
        }

        for(int k = 0; k < parityY; k++){
            for(int i = 0; i < xX; i++){
                int ret = 0; 
                for(int j = 0; j < xY; j++){
                    ret += parity[k][j] * x[j][i]; //行列Hとxの乗算結果
                }
                if ((ret % 2) != 0) return false; //retを2で割った余りが1なら０にならないのでfalseを返す
            }### ヘディングのテキスト
        }
        return true; //残ったxをtrueで返す。
    }
}
//**

String.formatメソッド、IllegalArgumentExceptionクラスのスロー、charAtメソッドについて調べたのですが、実際どのように使われているのか理解できません。
上記コードの「//**」で囲んでいる部分の処理が良く分からないため解説していただけたらと思っております。特に上記コードでは、String.formatメソッド、IllegalArgumentExceptionクラスのスロー、charAtメソッドはどのように使われているのか詳しく知りたいです。宜しくお願い致します。