子コンポーネントを呼び出しているところ、refを付けてあげたら動くと思いますが、いかがでしょう。
↓私の環境はVueのバージョンが違っているのですが、参考までに
parentvue
1<template>
2 <div>
3 dialog test
4 <button @click="openDialog('dialog1')"> open dialog1 </button>
5 <dialog-sample ref="dialog1" />
6 </div>
7</template>
8<script>
9import DialogSample from './Dalog.vue'
10export default {
11 components: {
12 DialogSample
13 },
14 methods: {
15 openDialog(name) {
16 this.$refs[name].open()
17 }
18 }
19}
20</script>
Dialogvue
1<template>
2 <div v-show="show">
3 DIALOG
4 <button @click="close"> close</button>
5 </div>
6</template>
7<script>
8export default {
9 data() {
10 return {
11 show: false
12 }
13 },
14 methods: {
15 open() {
16 this.show = true
17 },
18 close() {
19 this.show = false
20 }
21 }
22}
23</script>
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