【wordpress】カスタム投稿の検索結果でページャーを表示したい

前提・実現したいこと

キーワード検索でヒットした記事一覧で、特定のカスタム投稿のみ表示したいのですが、どうやってページャーを表示させればいいかが分かりません

現状、特定のカスタム投稿のみの検索結果はちゃんと表示されており、検索結果の2ページも存在はしています
http://localhost:8001/page/2/?s=キーワードのように入力すると、ちゃんと記事は表示されます

あとはページャーを表示させれば完成なのですが、タクソノミーの記事一覧などでやっているページャーの表示方法でやっても上手くいきませんでした

functions.php（これで特定のカスタム投稿のみを検索結果に出るように）

function my_pre_get_posts($query) {
  if (!is_admin() && $query->is_main_query() && $query->is_search()) {
    $query->set('post_type', 'custom-post');
  }
}
add_action('pre_get_posts','my_pre_get_posts');
function my_posts_search($search) {
  if(is_search()) {
    $search .= " AND (post_type = 'custom-post')";
  }
  return $search;
}
add_filter('posts_search', 'my_posts_search');

search.php（これで検索結果を出力）

<?php if (have_posts()): ?>
  <?php if (isset($_GET['s']) && empty($_GET['s'])) : ?>
    <h1 class="c-underlayer-heading">「」の検索結果：0件</h1>
  <?php else : ?>
    <div class="c-content__heading">
      <h1 class="c-underlayer-heading"><?php echo '<span>' . $_GET['s'] . '</span>の検索結果：' . $wp_query->found_posts . '件' ; ?></h1>
    </div>
    <div class="c-article-card">

      <?php while(have_posts()): the_post(); ?>
        // ここにタイトルとか
      <?php endwhile; wp_reset_postdata(); ?>

    </div>
  <?php endif; ?>
<?php else: ?>
  <h1 class="c-underlayer-heading"><?php echo '<span>' . $_GET['s'] . '</span>の検索結果：' . $wp_query->found_posts . '件' ; ?></h1>
<?php endif; ?>

試したこと

タクソノミーの記事一覧のようなページャーの出力方法を試してみましたが、
下記だと全ての記事が出力されてしまいます

post_typeを消したら全部記事が表示されなくなりました

そもそも、今のpaginate_linksのformatのurlの形式だと2ページ目以降が404になってしまったので、このコードを流用するとしたら、これも変えなきゃなと思いました。。。

<?php
  global $max_num_page;
  $paged = get_query_var('paged') ? get_query_var('paged') : 1;
  $args = array(
    'post_type' => 'custom-post',

    // wp管理画面の設定 > 表示設定 > 1ページに表示する最大投稿数
    // その数値と、posts_per_pageの数値は同じにする
    // じゃないとpaginate_links()のページャーがうまく動かない
    'posts_per_page' => 6,

    'orderby' => 'date',
    'order' => 'DESC',
    'paged' => $paged,
  );
  $the_query = new WP_Query( $args );
  while ( $the_query->have_posts() ) : $the_query->the_post();
?>

ページャー出力↓

<?php
  if ($the_query->max_num_pages > 1) {
    echo '<div class="c-pagination">';
    echo paginate_links( array(
      'base' => get_pagenum_link(1).'%_%',
      'format' => 'page/%#%/',
      'current' => max(1, $paged),
      'total' => $the_query->max_num_pages,
      'type' => 'list',
      'mid_size' => '1',
      'prev_text' => '<',
      'next_text' => '>'
      ) );
    echo '</div>';
  }
?>