DatePickerからの値をローカル通知のfireDateに設定するとできると思います。
サウンドをmp3で指定することも可能です。
ローカル通知は登録してあればアプリが終了していても届きます。
swift
1// ユーザーに対して通知の許可確認
2UIApplication.sharedApplication().registerUserNotificationSettings(UIUserNotificationSettings(forTypes: [.Alert, .Badge, .Sound], categories: nil))
3
4// 登録するところで以下を実行
5let notification = UILocalNotification()
6notification.fireDate = datePicker.date
7notification.timeZone = NSTimeZone.defaultTimeZone()
8notification.alertBody = "Alert Body"
9notification.alertAction = "OK"
10notification.soundName = "sample.mp3"
11UIApplication.sharedApplication().scheduleLocalNotification(notification)
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