いろいろ情報が不明なので、一般的な内容で回答してみます。
まず最初に REST API が使用できないサブディレクトリにインストールした WordPress では、投稿を編集するエディタは何をお使いですか?
Gutenberg の場合は、投稿の作成や保存、編集はできていますか?
WordPress ( WordPress 5.1-ja + TwentyNineteen ) を新規インストール して、 http://example.jp/wp/
で トップページが表示されるのを確認した上で http://example.jp/wp/wp-json/wp/v2/posts
にアクセスすると
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のような JSON が取得可能です。(つまり、サブディレクトリでもデフォルトで WP REST API は、有効になています。)
デフォルトで有効なのがなぜ表示できなくなっているのかは不明ですが、考えられる原因として思いつく内容を書いてみますので、確認してみてください。
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WordPress 4.5 の頃に REST API を無効化するプラグインや方法が紹介されていたと思います。
主な例では、下記のような内容がありますが、該当する内容を設定したことはありますか?
・セキュリティ系のプラグインがインストールされていて、REST API を無効化している
・API を無効化するプラグインがインストールしている ( 例: Disable REST API 等)
・.htaccess で、 wp-json へのアクセスを制御している。( IPアドレスの制限、BASIC認証の設定、404 にリダイレクト等 )
・ functions.php で、フックを使って、REST API を無効にするコードを記載している
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お使いのテーマが不明ですが、お使いのテーマに WP REST API を無効にする設定項目がある。
お使いのテーマは、何でしょうか?
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パーマリンクの設定がおかしくなっていて、wp-json を認識しない。
プラグインやテーマ等で、パーマリンク関係の設定を書き換えるものがありますが、パーマリンクの設定が不正な状態になっている場合に一部のページが表示できない場合があります。
ダッシュボード(管理画面)にログインして、「設定」→「パーマリンク設定」で、設定内容は何も変更しなくてもよいので、「変更を保存」ボタンを押して「パーマリンクの設定」を更新してみてください。
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レンタルサーバーを使っている場合、レンタルサーバーのセキュリティ機能で、特定の URL に対するアクセスが制限されている場合があります。 ( 主な例では、「wp-admin や XML-RPC へのアクセスを制限」「海外からのアクセスを制限」等)
お使いのサーバのマニュアル等を確認。
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