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ニュートン法について

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ニュートン法を用いた問題で
方程式 f(x) = x^2 − 2 として,方程式 f(x) = 0 を
実行時に与えた初期値のもとで
Newton 法によって解くプログラムを作成したいのですが思い通りの結果になりません。
Newton 反復を 1 回行う関数の戻り値がよくわかっていないためだと思います。
変更すべき点を教えていただければ幸いです。

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#define K_MAX 100
#define DX  1.0e-10
#define EPS 1.0e-10

void input(double *x);
double f(double x);
double df(double x);
double g(double x);
int newton(double *x);

int main(void) {
    double x;
    int k;

    input(&x);
    k = newton(&x);
    printf("\n<%d> f(%.16f) = %.16f\n",k,x,f(x));

    return 0;
}

void input(double *x) {
    printf("input x: ");
    scanf("%lf",x);
}

double f(double x) {
    return (x * x - 2);
}

double df(double x) {
    /* return (2 * x); */
    return ( (f(x + DX) - f(x)) / DX );
}

double g(double x) {
    return (x * x - 2); 
}

int dgtof(int m) {
    int ans = 1;

    while (m >= 10) {
        ans++;
        m = m / 10;
    }

    return ans;
}

int newton(double *x) {
    double newx, oldx = *x;
    int dgt = dgtof(K_MAX);
    int k;

    for (k = 1; k <= K_MAX; k++) {
        newx = g(oldx);
        printf("<%*d> g(%.16f) = %.16f\n",dgt,k,oldx,newx);
        if (fabs(newx - oldx) < EPS)
            break;
        oldx = newx;
    }
    *x = newx;

    return ((k < K_MAX) ? k : -1);
}
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  • mather

    2018/10/04 14:26

    「思い通りの結果になりません」期待値とどういう結果になったか書いてください。

    キャンセル

  • fana

    2018/10/04 15:03

    結果がどうの以前に,まずNewton法の実装自体が存在しないように見えるのですが…

    キャンセル

回答 2

checkベストアンサー

+2

ニュートン法の更新式がおかしいです。

newx = g(oldx);

newx = oldx - f(oldx) / df(oldx);

サンプルコードを以下に記載します。

 サンプルコード

#include <math.h>
#include <stdio.h>

#define K_MAX 100
#define DX 1.0e-10
#define EPS 1.0e-10

void input(double *init_x);
double f(double x);
double df(double x);
bool newton(double init_x, double *x, int *num_iters);

int main()
{
    double init_x;  // 初期値
    double x;       // 解
    int num_iters;  // 反復回数

    printf("input x: ");
    scanf("%lf", &init_x);

    if (newton(init_x, &x, &num_iters))
        printf("number of iteration: %d, x=%.15f\n", num_iters, x);
    else
        printf("newton method failed.");
}

/**
   @brief x^2 の値を計算する。
 */
double f(double x)
{
    return (x * x - 2);
}

/**
   @brief x^2 の導関数の値を計算する。
 */
double df(double x)
{
    return (f(x + DX) - f(x)) / DX;
}

/**
   @brief newton ニュートン法を実行する。
   @param init_x 初期値
   @param x 解
   @param num_iters 反復回数
 */
bool newton(double init_x, double *x, int *num_iters)
{
    double x1 = init_x, x2;
    int i;

    for (i = 1; i <= K_MAX; i++) {
        if (fabs(df(x1)) < EPS)
            return false;  // ニュートン法が失敗する場合

        x2 = x1 - f(x1) / df(x1);
        printf("%d: x=%.15f\n", i, x2);

        if (fabs(x2 - x1) < EPS) {
            *x = x2;
            *num_iters = i;
            return true;
        }

        x1 = x2;
    }

    return false;  // 収束しなかった場合
}
input x: 3
1: x=1.833333429863758
2: x=1.462121242835444
3: x=1.414998368736482
4: x=1.414213779259034
5: x=1.414213562373021
6: x=1.414213562373095
number of iteration: 6, x=1.414213562373095

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  • 2018/10/05 10:34

    fabs( dx(x1) ) としないとまずいです

    キャンセル

  • 2018/10/05 10:36

    × dx()
    ○ df()
    ですね… 私のコメントもおかしい.

    キャンセル

  • 2018/10/05 11:29

    ありがとうございました!無事に求めていた結果がでました^^

    キャンセル

+1

更新式ですが、x_(n+1) = x_n - (f(x_n))/(f'(x_n)) を手計算で求め、算出する関数を実装すればよいです。このf(x)ですが、質問者さんが記載されているものとおなじです。

詳しくは、次のサイトを参考にしてください。

  1. ニュートン法とは何か??ニュートン法で解く方程式の近似解
  2. 【微分法】接線の方程式の求め方

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