PHPのthisと->の意味がわかりません。

PHP: クラスの基礎 - Manual
$thisはインスタンス自身のことを、クラス（のプロパティやメソッドなど）の実装をするときに自分自身を指すために使います。
もしも$this->grpupでなく単に$groupとした場合は、ローカル変数でしかないため、
メソッドを抜けると保持されなくなります。

->は左側に示すインスタンスが所有するメンバーを、右側に示すプロパティやメソッドや定数でアクセスするものです。
もしもtest_b()とすると、（名前空間内の）test_b()関数を呼び出す意味になってしまい、
例えば

<?php
class example {
  public function test_b() {  // (1)はクラス内のメソッド
    ...
  }
  ...
}

function test_b() {  // (2)はクラス実装の外側にある
  ...
}

といった意地悪なケースで1と2のどっちを呼ぶのかを迷惑に分ける必要があるため、
$this->test_b()とtest_b()と書き方が別れます。

$this->group = $this->test_b();は、
自インスタンスの変数もしくはプロパティであるgroupに対して、
自インスタンスのメソッドであるtest_b()の結果を代入する、
と解釈できると思います。

あちこちの入門書などに既に丁寧な説明がなされていることを書くのは少々はばかられますが、
乗りかかった船なので続けて補足します。

phpの公式ドキュメントの、PHP: クラスとオブジェクトに
一通り目を通してサンプルコードを動かしてみてくれると
理解が早いと思いますが、

<?php

$var = 'global value';
class SimpleClass
{
    // プロパティの宣言
    public $var = 'property value';

    // メソッドの宣言
    public function displayVar() {
        $var = 'local value';
        echo $this->var . PHP_EOL;  // 'property value'を出力
        echo $var . PHP_EOL;  // 'local value'を出力
        echo $GLOBALS['var'] . PHP_EOL;  // 'global value'を出力
    }
}

$test = new SimpleClass;
$test->displayVar();

ひっかけ問題のように小難しくしてみましたが、
どこで宣言されているものを参照するかを明確にするために、
$thisや->があります。

thisは何をさしているのでしょうか。 

今提示されているコードの中にはありません。
通常は、Class(オブジェクト)自身を指します。

• 【PHP入門】変数の使い方 | 基本・可変・スコープ・疑似変数this

コードの解説を求めるのであれば、なるべくコード全体を提示しましょう。

それと、例えば上記の$this->group = $this->test_b();の意味なのですが、「$thisは連想配列で、その$thisの中にgroupというキーがあって、そのキーに値として$this->test_b()という関数がreturnで返す結果を格納している」という考え方であっているでしょうか。 

いいえ、違います。コードが全て提示されないと確実なことは言えませんが、
$thisはtest_b()関数や$groupというプロパティを持っているクラスで、$groupというプロパティでtest_b()関数の結果を受け取って保管している
ということは言えます。

ただしそのクラスが何かしらのクラスを継承している場合、
$groupやtest_b()関数がprivateに設定していなければ、そのクラス自身ではなく親クラス側に持っている可能性もあるので、やはりコード全体が必要です。

->については既に出ている通りですね。

PHPマニュアルを一通り熟読し、色々と動かしてみると良いです。

• PHPマニュアル：クラスの基礎
• PHPマニュアル：プロパティ
• PHPマニュアル：アクセス権
• PHPマニュアル：オブジェクトの継承 
• PHPオブジェクト指向プログラミング入門（1）： PHPにおけるクラスの書き方と呼び出し方――インスタンス、メソッド、プロパティ