mysqlとphpを用いたページング機能の実装

PDOで書いていますが、SQL部分はこちら参考になるかもしれません。

https://qiita.com/ShibuyaKosuke/items/0c5c6df1fac218fbca38

phpを実行環境が無いので、正しいか分かりませんが、
SQLの所を以下のように修正したらどうでしょうか

LIMIT 1 OFFSET 0  -> LIMIT $offset, 1

LIMIT 1 OFFSET 0
だと、常に最初の1件を取得 となっているように思います

LIMITで行数を制限する

まず、ページングの区切り方を考えます。例えば、データが5件で2件ずつ（LIMIT 2）表示する時のロジックを考えてみます。

//---- 1ページ目 ----
OFFSET == 0  //←ここが欲しい
OFFSET == 1
//---- 2ページ目 ----
OFFSET == 2  //←ここが欲しい
OFFSET == 3
//---- 3ページ目 ----
OFFSET == 4  //←ここが欲しい

ページが$page = nの時のオフセット$offsetを求めるには下記のように書けます。

※注意
$offset <= $total - 1 (オフセットはデータ件数-1以下)
例えば、4ページしかないのに5ページ目にアクセスした場合を考慮しなければなりません。

//オフセット初期値
$offset = 0;

//2件ずつ表示
$limit = 2;

if ($page > 0) {
    $offset = ($page - 1) * $limit;
}

下記はページングを組み込んだサンプルです。質問にあるようにページングリンクは前後1つのみを考慮しています。複数ページングリンクを表示する場合は、もう少し複雑です。

XSSとSQLインジェクションを考慮して、filter_input()とmysqli_stmt_init()を使うコードにしてあります。
また、$form_lon,$form_lat は TextSearchDB() の引数になっていますが、同じくDBパラメーターの $offset,$limit が引数でなかったので関数の引数に変更してあります。

PDOと違ってMysqliでmysqlndドライバが使えない場合バインドしてからのデータ取得が非常に面倒ですが、mysqlnd ドライバが使える場合は非常に簡単です。

//-----ページング機能
$form_lon = filter_input(INPUT_GET, 'longitude', FILTER_SANITIZE_NUMBER_FLOAT);
$form_lat = filter_input(INPUT_GET, 'latitude', FILTER_SANITIZE_NUMBER_FLOAT);

$offset = 0;
$limit  = 1;

//ページ番号取得
$p = (int)filter_input(INPUT_GET, 'page', FILTER_SANITIZE_NUMBER_INT);
$p = $p < 1 ? 1 : $p;

//オフセット決定
$offset = ($p - 1) * $limit;

//グローバルに保存（TextSearchDB()の引数に変更）
//$GLOBALS['limit']  = $limit;
//$GLOBALS['offset'] = $offset;

//...

//-----データベースから、指定した緯度経度を持つテキストファイルを検索する関数。
function TextSearchDB($longitude_num, $latitude_num, $limit, $offset)
{
    //...

    //プリペアードステートメント
    $stmt = mysqli_stmt_init($db_link1);

    //データ件数を取得
    mysqli_stmt_prepare($stmt, "SELECT count(*) FROM `img_table` WHERE (`longitude` BETWEEN ? AND ?) AND (`latitude` BETWEEN ? AND ?)");
    mysqli_stmt_bind_param($stmt, 'ssss', $com_longitude_minus, $com_longitude_plus, $com_latitude_minus, $com_latitude_plus);
    mysqli_stmt_execute($stmt);

    mysqli_stmt_bind_result($stmt, $total);
    mysqli_stmt_fetch($stmt);
    mysqli_stmt_free_result($stmt);

    $result = array();

    //データ件数以上の時（データがゼロ件の時、4ページのみで5ページ目にアクセスした場合）
    if ($offset > $total - 1) {
        echo '';
        return $result;
    }

    //-----指定した緯度経度のテキストを検索
    mysqli_stmt_prepare($stmt, "SELECT * FROM `img_table` WHERE (`longitude` BETWEEN ? AND ?) AND (`latitude` BETWEEN ? AND ?) ORDER BY `id_col` ASC LIMIT ? OFFSET ?");
    mysqli_stmt_bind_param($stmt, 'ssssii', $com_longitude_minus, $com_longitude_plus, $com_latitude_minus, $com_latitude_plus, $limit, $offset);
    mysqli_stmt_execute($stmt);

    //**** mysqlndが使える場合 ****
    $rs = mysqli_stmt_get_result($stmt);
    while ($row_lon = mysqli_fetch_array($rs)) {
        echo $row_lon['comment'];
        $result[] = $row_lon;
    }

/*
    //**** mysqlndが使えない場合 ****
    //bind_result() のためのカラム名をすべて取得
    $meta = mysqli_stmt_result_metadata($stmt);
    $args = [$stmt];

    while ($field = mysqli_fetch_field($meta)) {
        $args[] = &$column[$field->name];
    }

    //一気にバインド
    call_user_func_array('mysqli_stmt_bind_result', $args);

    //DBデータ取得
    while (mysqli_stmt_fetch($stmt)) {
        $row_lon = array();
        foreach($column as $k => $v) {
            $row_lon[$k] = $v;
        }
        echo $row_lon['comment'];
        $result[] = $row_lon;
    }
*/

    mysqli_stmt_free_result($stmt);
    mysqli_stmt_close($stmt);
    mysqli_close($db_link1);

    return $result;
}