ローカルのコンテナからRDSへ接続する

Question

Windows上のDockerコンテナからRDSへ接続したい

WindowsのDocker DesktopでPHP(Laravel)とmysqlのコンテナを作成しプログラムを書いています。
AWS RDS上のデータを扱う必要ができましたが、下の2種類のエラーで踏み台サーバーを経由しての接続がうまくいきません。

SQLSTATE[HY000] [2002] Connection refused (SQL: select * from `sessions` where `id` = P***********kBYKtSkPPZT87c limit 1)
SQLSTATE[HY000] [1045] Access denied for user 'root'@'172.23.0.3' (using password: YES) (SQL: select * from `sessions` where `id` = l3TZMHAMqrC***********QB3mXkwRVo limit 1)

必要な作業は以下のように理解しています。

1. [phpコンテナ]->[windows]　コンテナ内の/etc/hostsでwindowsマシンのIPを確認し、mysqlの接続先を向ける。
2. [windows]->[踏み台サーバー]　sshポートフォワーディングで、ローカルの3306ポートとRDSのエンドポイントの3306をつなげる。
3. [踏み台サーバー]->[RDS]　セキュリティグループに3306が登録されていることを確認する。

以下が試したことです。

[phpコンテナ]->[windows]

コンテナから見たwindowsのアドレスを確認する。起動ごとに変動する。

127.0.0.1	localhost
::1	localhost ip6-localhost ip6-loopback
fe00::0	ip6-localnet
ff00::0	ip6-mcastprefix
ff02::1	ip6-allnodes
ff02::2	ip6-allrouters
172.23.0.2	f3f96a1f0a67

一番下の172.23.0.2をmysqlのホストとして設定しました。

[windows]->[踏み台サーバー]

まずSSH接続が行えるかを確認し、正常に接続できたのでポートフォワーディングの設定を行いました。
エラーは出ませんでしたが、RDSではpingを受け付けないそうで、正常に繋がっているかが確認できませんでした。

ssh -f -N -L 3306:[RDSのエンドポイント]:3306 -i [pemキーのパス] -4 -l ec2-user ec2-user@[踏み台サーバーのIPアドレス]

[踏み台サーバー]->[RDS]

セキュリティグループのインパウンドルールに3306が登録されていることを確認しました。

上記の作業を行い、コンテナ内からSSHポートフォワードを行う等も試しましたが、状況は変わりませんでした。
確認すべきことなどがありましたらご教授ください。

補足情報（FW/ツールのバージョンなど）

Windows10
Docker Desktop 4.4.3