回答編集履歴
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繰り返し二乗法
test
CHANGED
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@@ -14,6 +14,8 @@
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指数の足し算を行ったあと、実際に掛け算を行って、有理数(powplus/powminus)を求めてやります。
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(なお、掛け算時に累乗を計算する必要がありますが、これは繰り返し二乗法を使って高速化します。)
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ここまでは整数同士の掛け算割り算なので誤差はありませんが、最後に割り算を行い小数に直します。
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(試作のためpythonですが, 流れさえわかれば, javaでも組めると思います。javaでも書こうと思いましたが、pythonで力尽きました)
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pythonによるテスト
test
CHANGED
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@@ -5,3 +5,227 @@
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二項分布にはほかの分布で近似されることが知られています。正規分布(np>5 np(1-p)>5のとき) あるいはポアソン分布(nが大きくpが十分に小さい場合)で近似できるため、こころへんの性質をつかうといいのではないでしょうか。
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追記) 愚直に計算を行うのではなく、前処理で素因数分解を行うことで高速(マイクロ秒くらい)に解けることを確認しました。
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まずは、エラトステネスの篩で素数列挙を行い, 通常の整数では素数で順番に割り算してどこまで割れるか試していき、階乗ではルジャンドルの定理を使って、素因数分解を行います。
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指数の足し算を行ったあと、実際に掛け算を行って、有理数(powplus/powminus)を求めてやります。
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ここまでは整数同士の掛け算割り算なので誤差はありませんが、最後に割り算を行い小数に直します。
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(試作のためpythonですが, 流れさえわかれば, javaでも組めると思います。javaでも書こうと思いましたが、pythonで力尽きました)
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```python
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from decimal import *
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+
# 素数列挙(エラトステネスの篩)
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def eratosthenes(n):
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primeNumbers = []
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+
isprime = [True]*(n+1)
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+
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+
for i in range(2, n+1):
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+
if(isprime[i]):
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+
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+
primeNumbers.append(i)
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+
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+
temp = i
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+
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+
while(temp <= n):
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+
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+
isprime[temp] = False
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+
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+
temp += i
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+
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+
return primeNumbers
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50
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+
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+
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+
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+
# n!を素因数分解(ルジャンドルの定理)
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+
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+
def primeFactorizeKaijo(n, primeNumbers):
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+
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+
assert(n <= max_int)
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+
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+
res = {}
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+
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+
for i in primeNumbers:
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+
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+
if(i > n):
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+
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+
break
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+
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+
temp = i
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+
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+
restemp = 0
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+
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71
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+
while(temp <= n):
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+
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73
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+
restemp += int(n/temp)
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+
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75
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+
temp *= i
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+
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+
res[i] = restemp
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+
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79
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+
return res
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80
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+
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81
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+
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82
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+
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+
# nを素因数分解する
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84
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+
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85
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+
def primeFactorize(n, primeNumbers):
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+
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87
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+
assert(n <= max_int)
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88
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+
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+
res = {}
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+
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+
temp = n
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+
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+
for i in primeNumbers:
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+
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+
if(i > temp):
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+
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97
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+
break
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98
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+
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99
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+
while(temp % i == 0):
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100
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+
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101
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+
if(i in res):
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102
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+
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103
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+
res[i] += 1
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104
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+
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105
|
+
else:
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106
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+
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107
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+
res[i] = 1
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108
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+
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109
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+
temp /= i
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110
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+
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111
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+
return res
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112
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+
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113
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+
def calculatePowMul(ans, fact, power):
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114
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+
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+
for k, v in fact.items():
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116
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+
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117
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+
ans[k] += v*power
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+
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119
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+
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120
|
+
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121
|
+
# nCk * p^k * q^{n-k}
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122
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+
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123
|
+
n = 10000
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124
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+
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125
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+
k = 5000
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126
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+
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127
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+
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128
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+
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129
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+
# p = [pの分子, pの分母]
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130
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+
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131
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+
p = [1, 65535]
|
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132
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+
|
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133
|
+
max_int = max([n, k, p[0], p[1]])
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134
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+
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135
|
+
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136
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+
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137
|
+
# 素因数分解
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138
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+
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139
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+
primeNumbers = eratosthenes(max_int)
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140
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+
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141
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+
pbunbo_fact = primeFactorize(p[1], primeNumbers)
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142
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+
|
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143
|
+
pbunshi_fact = primeFactorize(p[0], primeNumbers)
|
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144
|
+
|
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145
|
+
qbunshi_fact = primeFactorize(p[1]-p[0], primeNumbers)
|
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146
|
+
|
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147
|
+
nkaijo_fact = primeFactorizeKaijo(n, primeNumbers)
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|
148
|
+
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149
|
+
kkaijo_fact = primeFactorizeKaijo(k, primeNumbers)
|
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150
|
+
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|
151
|
+
nmkkaijo_fact = primeFactorizeKaijo(n-k, primeNumbers)
|
|
152
|
+
|
|
153
|
+
|
|
154
|
+
|
|
155
|
+
# 指数同士の足し算をおこない、掛け算する
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156
|
+
|
|
157
|
+
ans = [0]*(max_int+1)
|
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158
|
+
|
|
159
|
+
calculatePowMul(ans, pbunbo_fact, -n)
|
|
160
|
+
|
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161
|
+
calculatePowMul(ans, pbunshi_fact, k)
|
|
162
|
+
|
|
163
|
+
calculatePowMul(ans, qbunshi_fact, n-k)
|
|
164
|
+
|
|
165
|
+
calculatePowMul(ans, nkaijo_fact, 1)
|
|
166
|
+
|
|
167
|
+
calculatePowMul(ans, kkaijo_fact, -1)
|
|
168
|
+
|
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169
|
+
calculatePowMul(ans, nmkkaijo_fact, -1)
|
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170
|
+
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171
|
+
|
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172
|
+
|
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173
|
+
# 指数の正負で分ける(0は入れない)
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174
|
+
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175
|
+
plus = {}
|
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176
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+
|
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177
|
+
minus = {}
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178
|
+
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179
|
+
for i in primeNumbers:
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180
|
+
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181
|
+
if(ans[i] > 0):
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|
182
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+
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|
183
|
+
plus[i] = ans[i]
|
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184
|
+
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|
185
|
+
if(ans[i] < 0):
|
|
186
|
+
|
|
187
|
+
minus[i] = abs(ans[i])
|
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188
|
+
|
|
189
|
+
|
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190
|
+
|
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191
|
+
# 実際に掛け算を行う(
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192
|
+
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193
|
+
powplus = 1
|
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194
|
+
|
|
195
|
+
for i in plus:
|
|
196
|
+
|
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197
|
+
powplus *= pow(i, plus[i])
|
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198
|
+
|
|
199
|
+
powminus = 1
|
|
200
|
+
|
|
201
|
+
for i in minus:
|
|
202
|
+
|
|
203
|
+
powminus *= pow(i, minus[i])
|
|
204
|
+
|
|
205
|
+
|
|
206
|
+
|
|
207
|
+
# 有効桁数を50桁とする
|
|
208
|
+
|
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209
|
+
getcontext().prec = 50
|
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210
|
+
|
|
211
|
+
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|
212
|
+
|
|
213
|
+
# 実際に割って小数にする
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214
|
+
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215
|
+
print(Decimal(powplus)/Decimal(powminus))
|
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216
|
+
|
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217
|
+
```
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218
|
+
|
|
219
|
+
|
|
220
|
+
|
|
221
|
+
```text
|
|
222
|
+
|
|
223
|
+
CPU times: user 3 µs, sys: 0 ns, total: 3 µs
|
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224
|
+
|
|
225
|
+
Wall time: 5.25 µs
|
|
226
|
+
|
|
227
|
+
6.3420873578683450119531499686198773734249989811395E-21075
|
|
228
|
+
|
|
229
|
+
```
|
|
230
|
+
|
|
231
|
+
ほぼ無視できるような確率ですね。
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1
修正
test
CHANGED
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@@ -4,4 +4,4 @@
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4
4
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5
5
|
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6
6
|
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7
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-
|
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7
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+
二項分布にはほかの分布で近似されることが知られています。正規分布(np>5 np(1-p)>5のとき) あるいはポアソン分布(nが大きくpが十分に小さい場合)で近似できるため、こころへんの性質をつかうといいのではないでしょうか。
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