回答編集履歴
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            ※通常、複数形なんですがモデル自体が単数形になっているので、単数形の可能性もあるかもしれません
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            ※`subject_participant.participant_idx`も同じような感じかと
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            CakePHPのマニュアルとしては、[BelongsToMany アソシエーションの保存](https://book.cakephp.org/3.0/ja/orm/saving-data.html#id18)が参考になると思います。
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            CakePHPのマニュアルとしては、[BelongsToMany アソシエーションの保存](https://book.cakephp.org/3.0/ja/orm/saving-data.html#id18)が参考になると思います。
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            **追記**
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            まずは、フォームの$this->request->getData()を使わず、以下の配列の値で保存できるかやってみたらどうでしょうか
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            $data = [
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                'subject_idx' => 1,
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                'subject_equipments' => [
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                    '_ids' => [1, 2, 3, 4]
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                ]
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            ];
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誤字
    
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            回答依頼が来ていたので、分かる範囲で回答しますね...
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            まず、コントローラ側の`$this->Subject->saveMany($subject)`は$this->Subject->save($subject)が正しいと思います。保存しようとしてるエンティティは1つだからです。アソシエーションを一緒に保存する場合でもsave()です。
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            まず、コントローラ側の`$this->Subject->saveMany($subject)`は`$this->Subject->save($subject)`が正しいと思います。保存しようとしてるエンティティは1つだからです。アソシエーションを一緒に保存する場合でもsave()です。
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            後は、テンプレート側も問題だと思います。Form->controlの第一引数であるフィールド名の指定の仕方は若干ややこしいです。
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            後は、テンプレート側も問題だと思います。`$this->Form->control()`の第一引数であるフィールド名の指定の仕方は若干ややこしいです。
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            * `subject.subject_idx`は、`subject_idx`でいいはずです。subject自身であれば、`subject.`を指定しません。
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            * `subject_equipment.equipment_idx`は、`subject_equipments._ids`か`subject_equipment._ids`だと思います。
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            ※`_ids`というのはIDのリストを意味する特別な単語です
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