RailsでAjaxをちゃんと動かしたい

参照先URLのすべてのソースを見たわけではないですが、エラーが発生している原因は、
_like.html.erbパーシャルにmicropost変数を渡していないからですね。
（現実装では、渡しているのは、micropostsだが、パーシャル内で利用しているのはmicropost）
そのため、DBに対する保存は完了しているが、Ajax処理がこけているという状況かと思います。

パーシャルに対する理解がわからなければ、
http://qiita.com/shizuma/items/1c655dadd2e04b3990a8
を見ておくとよいと思います。

ちなみに参照先のURLの実装にも同様のミスが見つかりました。その他にも、いくつか不可解な部分があります。完全にトレースした訳ないですが、おそらくこの投稿のまま実装しても動かないですね。
・views/likes/create.js.erbで$("#like-buttons")というhtml要素を書き換えているが、このlike-buttonsとは？？？命名からするとすべてのいいねボタンと見受けられるが、ajaxで再描画するのは一ついいねボタンだけで良いはず。
・partial内で利用しているのはtweetだが、渡しているのはtweets
・create, destroyともに@tweetsや@likes、@likeは不要なはず
といったところです。

micropostsを表示している一覧ページがありますよね？（そしてその中にいいねボタンがあると思うのですが）
もしよければ、そこのerbテンプレートを貼ってみてください。修正方針が伝えられるかも。

 <以下追記>

_micropost.html.erbを以下のようにしてみてください。
likeパーシャルをなんでも良いのでタグで囲ってそこにIDを付与します

<li id="<%= micropost.id %>">
<%= link_to gravatar_for(micropost.user, size: 50), micropost.user %>
<span class="user"><%= link_to micropost.user.name, micropost.user %></span>
<span class="content"><%= micropost.content %></span><br />
<span class="rate rate-<%= micropost.rate %>"></span><br />
<span class="type"><%= micropost.type %></span><br />
<span class="case"><%= micropost.case %></span><br />
<span class="timestamp">
Posted <%= time_ago_in_words(micropost.created_at) %> ago.
<% if current_user?(micropost.user) %>
<%= link_to "delete", micropost, method: :delete,
data: { confirm: "You sure?" } %>
<% end %>
</span>
<!-- 変更ここから -->
<span id="like-of-<%= micropost.id %>">
  <%= render partial: 'likes/like', locals: { micropost: micropost } %>
</span>
<!-- 変更ここまで -->
</li>

次に、create.js.erb, destroy.js.erbを変更します
・上記のID変更に対応
・partialに渡す変数を修正
どちらも同じで通ると思います。

$("#like-of-<%= @micropost.id %>").html("<%= j(render partial: 'like', locals: { micropost: @micropost}) %>")

最後に作成したerbに合わせてコントローラーを修正します

class LikesController < ApplicationController
  def create
    # micropostを取得します。（before_actionをしっていたら共通化しましょう）
    @micropost = Micropost.find(params[:micropost_id])

    @like = Like.create(user_id: current_user.id, micropost_id: params[:micropost_id])

    # 以下は多分必要ないので削除
    # @likes = Like.where(micropost_id: params[:micropost_id])
    # @microposts = Micropost.all
  end

  def destroy
    # micropostを取得します。（before_actionをしっていたら共通化しましょう）
    @micropost = Micropost.find(params[:micropost_id])

    like = Like.find_by(user_id: current_user.id, micropost_id: params[:micropost_id])
    like.destroy

    # 以下は多分必要ないので削除
    # @likes = Like.where(micropost_id: params[:micropost_id])
    # @microposts = Micropost.all
  end
end