NodeとMongoDBの接続をしたい

Node.jsはシングルスレッドで動作しており、
そのほとんどのAPIが非同期イベント駆動での動作を想定しています。
DB操作といったライブラリを扱うには、最低限の非同期プログラミングへの理解が必要です。

もしnode.jsでDB操作やファイル操作等を同期処理で動かしたならば、
使い物にならないプロダクトが量産され、ここまで普及することはまずあり得ません。

質問者さんのデバッグコードの書き方（差し込み方）からして、
同期プログラミングの考え型で「動かない」とおっしゃっているようです。

Javascriptでコールバックによる非同期処理を書いた場合、
上から順番にコードが実行されるわけではありませんのでご注意ください。

今回のコードでしたら、だいたいのイメージとしまして、
コールバック関数以外のコードが上から順番に実行されます。

// lib/db.js
var assert = require('assert');//まずこれ読む
var mongodb = require('mongodb');//次これ読み込まれる
var MongoClient = mongodb.MongoClient;//その次これ読み込まれる

//ここまで順番どうりです。
//↓もconnectionの初期化(null代入)とconnect関数を定義し、外部公開が完了。
module.exports = {
    connection: null,
    //connect関数定義
    connect: function() {
        MongoClient.connect(config.mongodb.url); //繋いでという命令実行。繋がったら登録したコールバック関数を後で実行してね、という約束だけはした。
        console.log(this.connection);// まだ繋がってないのでnullで初期化されたnullが表示されます。
        console.log('Database Connect');//Database Connectが出力

        //この関数をぬけると呼び出していたindex.jsの続きが実行されます。
    },
};

// index.js
var mongo = require('./lib/db'); //上記クラスを読み込み（lib/db.jsが走ります）
mongo.connect(); //上に記載したconnect関数のコメントの挙動となります。要するに「繋がったら教えて」と頼んだだけです。
console.log(mongo); // 頼んですぐデバッグ表示させたので、期待したものは得られてません。
//ここでメインプログラム(index.js)終了。

index.jsは終了しましたが、続きがあります。
MongoClientにコールバックを登録していたので、プロセスは死んでません。
MongoClientから接続処理の結果としてコールバック関数が、このタイミングで呼び出されます。
DBの接続は速そうに見えても、プログラム的には色々と手続き処理があり、そこそこ重い処理となるので、今回のコード内容ですと、タイミング的にはindex.jsの同期処理の後となる、このタイミングになるはずです。

//MongoClientに登録されたコールバックが実行。クロージャによりthisが元気に問題なく動きます。
assert.equal(null, err);
this.connection = db; //mongo.connectionにdb接続オブジェクト代入
console.log(this.connection); // db接続オブジェクト表示
//コールバック処理が終わったので、プロセスがここでやっと死にます。

というような挙動となります。
え！これだと全部コールバックの中に処理を書かなくちゃいけないじゃん！
となると思うのですが、その通りです。
これがJavascriptのコールバック地獄というものでして、どんどんこれが続いていきます。

多くのWeb系エンジニアが長らく苦労してきた地獄なのですが、
当然打開策がありまして、まずはPromiseパターンの導入。
これでコールバック地獄から一気に抜け出せます。

そして次にco&generatorまたはasync/await構文を採用すれば、
同期処理のノリで非同期処理が書けます。
これらの情報は上質な記事が豊富にありますので、
非同期プログラミングへの理解が進めば、答えがでてくるかと思います。