htmlとcssとjsを駆使すれば実現可能な話と思います。
htmlにはインライン要素とブロック要素があり、
ブロック要素であればスタイルシートによって表示位置を制御できます。
positionによって表示の仕方を指定し、
座標top, leftの計算さえ出来て、すでに表示しているものの手前位置のz-indexを与えれば、
あたかもUIが重なって表示されるような見た目を再現できます。
ツイートボタンクリック時のイベント動作で、
必要なhtmlとcssをjsで生成して重ねているのかなと。
(本当にそうなっているかはわかりませんが、自分で真似して作ろうとするとそういうアプローチを取るかな、という意味で。)
ただ、何かそういう計算や加工が楽にできそうなライブラリはありそうですけどね、
私はそこまで詳しくないので、すぐに出てこないのですが。
ページの再読込とか遷移をせずにURLが書き換わるのは、
History.pushState()
History.replaceState()
によってHistory APIに介入しているようです。
ページ移動せずにアドレスバーのURLを変更する | GRAYCODE JavaScript