階層順にスラッグが表示されるURLのカテゴリページを作りたい

Question

ホームURL/親カテゴリ/子カテゴリ　の階層順に表示されるURLのカテゴリページを作りたい

現在親カテゴリと子カテゴリと階層を分けています。
functions.phpにget_category_by_slug()を使って変数設定しています。
そして、global変数としてテンプレート内でget_category_link( $変数->cat_ID)を用いてURLを取得しています。

そうすると、ホームURL/親カテゴリ/子カテゴリ　と形的には自身の理想としているURLが出力されますが、
このURLで出力されるページ自体がブランク状態です。

上記関数で出力されるURLを無視して、ホームURL/子カテゴリ
の順でURLをたたくとcategory-OOO.phpで設定したテンプレートのページが表示されます。

自身としては、ホームURL/親カテゴリ/子カテゴリ　と階層を表示させた状態で子カテゴリのテンプレートのページを出力したいんですが、どこの設定が追加で必要なのか、ネットで調べてもわからない状態です。

発生している問題・エラーメッセージ

N/A

該当のソースコード

functions.php側
<?php
$cat=get_category_by_slug('cat');
?>

他テンプレート側
<a href="<?php global $cat; echo get_category_link( $cat->cat_ID); ?>">カテゴリ</a>

試したこと

N/A

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