[React]投稿一覧コンポーネントだけをスクロールさせたい

Question

前提・実現したいこと

TwitterクローンのようなアプリをReact Hooks, Redux ToolKitでつくっています。
下のgifのように、現在このページ(components/Feed.tsx)の全体がスクロールしてしまっています。

画面上部の投稿フォーム（components/TweetInput.tsx）の位置をその場で固定して、
その下の投稿一覧エリア（components/Post.tsx）のみスクロールさせたいとき、どんなアイデアがあるでしょうか。
どれだけ遡っても投稿フォームが常に表示されているようなイメージです。

該当のソースコード

components/Feed.tsx↓

import React, { useState, useEffect } from 'react'
import { auth, db } from "../firebase";
import TweetInput from './TweetInput';
import styles from "./Feed.module.css";
import Post from './Post';

const Feed: React.FC = () => {
  const [ posts, setPosts] = useState([
    {
      id: "",
      avatar: "",
      image: "",
      text: "",
      timestamp: null,
      username: ""
    },
  ]);
  // データベースから投稿一覧を取得してstateに入れる
  useEffect(() => {
    const unSub = db
    .collection("posts")
    .orderBy("timestamp", "desc")
    .onSnapshot((snapshot) => setPosts(
      snapshot.docs.map((doc) => ({
        id: doc.id,
        avatar: doc.data().avatar,
        image: doc.data().image,
        text: doc.data().text,
        timestamp: doc.data().timestamp,
        username: doc.data().username,
      }))
    ));
    return () => {
      unSub();
    };
  }, []);
  return (
    <div className={styles.feed}>
      <button
        onClick={() => {
          auth.signOut();
        }}
      >
        SignOut
      </button>
      <TweetInput />
      {posts[0].id &&
        <>
          {posts.map((post) => (
            <Post
              key={post.id}
              postId={post.id}
              avatar={post.avatar}
              image={post.image}
              text={post.text}
              timestamp={post.timestamp}
              username={post.username}
            />
          ))}
        </>
      }
    </div>
  );
}
export default Feed

Feed.module.tsx↓

.feed {
  flex: 1;
  overflow-y: scroll;
}
.feed::-webkit-scrollbar {
  display: none;
}

試したこと

・feedクラスからoverflow-y: scroll;を削除して、代わりに{posts[0].id && ... }をdivで囲んでそこにoverflow-y: scroll;を当てる。
結果↓

投稿フォームは固定されてないうえに背景色が途切れてしまいました。

初学者ゆえに足りない情報があるかもしれません。すぐに追記させていただきます。