Ajaxでsubmitボタン押下後、画面遷移せず、文字列だけを表示したい。

現在、下記のfunction.phpにて、page-mail-restart.phpにある『メルマガ配信再開』というsubmitボタンをクリックすると
再開する為に必要なデータが入ったcsvが発行されるロジックが出来上がっております。
この時、function.phpの下から5行目にて、別ページへリダイレクトされているのですが、
この処理をajaxを使って”メルマガ配信再開処理が完了しました。”という文言を同じページに出す処理に変えたいです。

上記の用件を満たす代替案を教えていただけませんでしょうか？

・function.php

//メルマガ配信再開用CSVエクスポート ボタンクリック時発火アクション
if ( ! function_exists( 'mailmagazine_restart' ) ) {
function mailmagazine_restart(){
if(isset($_POST["mail-magazine-restart"])){
session_start();
$session_id = session_id();//セッション開始
$time_2 = date('YmdHis');//メルマガ配信再開日
// ファイルを書き込み用に開きます。
$filepath = configConfig::get('config.csv.dir');//csvファイル吐き出し箇所
$f = fopen($filepath.$time_2.'_'.$session_id.'_MailMagazineRestart.csv', "w");//CSVのファイル名
//headカラム_CSV吐き出し
$head = array('書き込み情報１','書き込み情報２');//csv書き込み情報
// write the data to csv
mb_convert_variables('SJIS', 'UTF-8', $head);//UTFをShiftJISに変換
fputcsv($f, $head);//発行するcsvにheadの内容書きこむ
// 正常にファイルを開くことができていれば、csvを書き込みます。
if ( $f ) {
$element1 = wp_get_current_user();
$element2 = get_field( 'system_id', "user_{$user->ID}" );
$url = csv吐き出し後の遷移先url;
$line = array('$element1','$element2');
mb_convert_variables('SJIS', 'UTF-8', $line);
fputcsv($f, $line);
}
fclose($f);// ファイルを閉じます。
wp_redirect( $url, 302 );//リダイレクト
exit;
}
}
}

・page-mail-restart.php

<?php
/*
Template Name: メール配信再開ページ
*/
get_template_part('includes/header');
mailmagazine_restart();
?>
<!-- main -->
<div id="main">
<div class="wrap">
<form method="post" action="" enctype="multipart/form-data" encoding="multipart/form-data">
<div class="csv-main">
<div><input type="submit" id="restart" name="mail-magazine-restart" value="メルマガ配信再開"></div>
<div id="restart-text">
 <-- ここでメッセージを表示させたい  -->                       
</div>
</div>
</form>
</div>
</div>
<!-- /main -->
<?php get_sidebar(); ?>
<?php get_template_part('includes/footer'); ?>

現在このような状況になっております。
【現在の状況】

wp_redirect( $url, 302 );//リダイレクト

↓

<script type="text/javascript">
$.ajax("function-v1.php", {
type: 'POST',
dataType: 'json',
data: edata,
success: function() {
$("#restart-text").append("<p>メルマガの配信再開処理が完了致しました。</p>");
}
});
</script>

このように書き換え、ボタン押下後、<div id="restart-text">内にテキストが追加されることを期待。

【起こる現象】
→ディレクトリ名は変わらないが、真っ白なページへ遷移される。

お手数をお掛けし、恐縮ではございますが、教えていただけると嬉しいです。よろしくお願い致します。