firebaseを使用したGoogleログイン、firestoreに情報を保存

flutterでfirebaseを使用し、Googleログインを実装しています。

プロフィール情報を
・年齢
・エリア
・性別
・プロフ画像
を作成・編集できるようにしたいです。

ですが、メールでアカウント作成する場合と違い、firestoreに情報が登録されないですよね。

その場合、どのように追加していけばいいのでしょうか。

他にも投稿を紐付けていきます。

追記
このコードで行う場合はどのようにuidを取得していけばいいでしょうか？

class MyHomePage extends StatefulWidget {
  MyHomePage({Key key, this.title}) : super(key: key);

  final String title;

  @override
  _MyHomePageState createState() => _MyHomePageState();
}

class _MyHomePageState extends State<MyHomePage> {
  final GoogleSignIn _googleSignIn = GoogleSignIn();
  final FirebaseAuth _auth = FirebaseAuth.instance;

  Future<FirebaseUser> _handleSignIn() async {
    GoogleSignInAccount googleCurrentUser = _googleSignIn.currentUser;
    try {
      if (googleCurrentUser == null)
        googleCurrentUser = await _googleSignIn.signInSilently();
      if (googleCurrentUser == null)
        googleCurrentUser = await _googleSignIn.signIn();
      if (googleCurrentUser == null) return null;

      GoogleSignInAuthentication googleAuth =
          await googleCurrentUser.authentication;
      final AuthCredential credential = GoogleAuthProvider.getCredential(
        accessToken: googleAuth.accessToken,
        idToken: googleAuth.idToken,
      );
      final FirebaseUser user =
          (await _auth.signInWithCredential(credential)).user;
      print("signed in " + user.displayName);

      return user;
    } catch (e) {
      print(e);
      return null;
    }
  }

  void transitionNextPage(FirebaseUser user) {
    if (user == null) return;

    Navigator.push(context,
        MaterialPageRoute(builder: (context) => NextPage(userData: user)));
  }

  @override
  Widget build(BuildContext context) {
    return Scaffold(
      appBar: AppBar(
        title: Text(widget.title),
      ),
      body: Center(
        child: Column(
            mainAxisAlignment: MainAxisAlignment.center,
            children: <Widget>[
              RaisedButton(
                child: Text('Sign in Google'),
                onPressed: () {
                  _handleSignIn()
                      .then((FirebaseUser user) => transitionNextPage(user))
                      .catchError((e) => print(e));
                },
              ),
            ]),
      ),
    );
  }
}