Nuxt.jsでFirebase Admin SDKの初期化がうまくいかない

Nuxt.jsを勉強しているものです。
Nuxt.jsのWebアプリケーションでFirebaseの認証ユーザーの一覧を取得する処理を実装しようとしています。

作業手順
①プロジェクト作成
yarn create nuxt-app sample

②firebase-adminをインストール
npm install firebase-admin --save

③plugins配下にfirebaseAdmin.jsを作成

plugins/firebaseAdmin.js

js
1const admin = (function () {
2    if (process.server) {
3      const a = require('firebase-admin');
4      if (!a.apps.length) { 
5        const serviceAccount = require('../key.json');
6        a.initializeApp({
7          credential: a.credential.cert(serviceAccount),
8          databaseURL: 'XXXXXXXXXX'
9        });
10      }
11      return a;
12    }
13})();
14export default admin

④index.vueでユーザー一覧取得処理を呼び出す。
index.vue

vue
1<template>
2  <div class="container">
3    <div>
4      <Logo />
5      <h1 class="title">
6        sample
7      </h1>
8      <div class="links">
9        <a
10          href="https://nuxtjs.org/"
11          target="_blank"
12          rel="noopener noreferrer"
13          class="button--green"
14        >
15          Documentation
16        </a>
17        <a
18          href="https://github.com/nuxt/nuxt.js"
19          target="_blank"
20          rel="noopener noreferrer"
21          class="button--grey"
22        >
23          GitHub
24        </a>
25      </div>
26    </div>
27  </div>
28</template>
29
30<script>
31import admin from '~/plugins/firebaseAdmin'
32export default {
33  data() {
34    return {
35    }
36  },
37  mounted() {
38    const listAllUsers = (nextPageToken) => {
39      // List batch of users, 1000 at a time.
40      admin
41        .auth()
42        .listUsers(1000, nextPageToken)
43        .then((listUsersResult) => {
44          listUsersResult.users.forEach((userRecord) => {
45            console.log('user', userRecord.toJSON());
46          });
47          if (listUsersResult.pageToken) {
48            // List next batch of users.
49            listAllUsers(listUsersResult.pageToken);
50          }
51        })
52        .catch((error) => {
53          console.log('Error listing users:', error);
54        });
55    };
56    // Start listing users from the beginning, 1000 at a time.
57    listAllUsers();
58
59  },
60}
61</script>
62
63<style>
64.container {
65  margin: 0 auto;
66  min-height: 100vh;
67  display: flex;
68  justify-content: center;
69  align-items: center;
70  text-align: center;
71}
72
73.title {
74  font-family:
75    'Quicksand',
76    'Source Sans Pro',
77    -apple-system,
78    BlinkMacSystemFont,
79    'Segoe UI',
80    Roboto,
81    'Helvetica Neue',
82    Arial,
83    sans-serif;
84  display: block;
85  font-weight: 300;
86  font-size: 100px;
87  color: #35495e;
88  letter-spacing: 1px;
89}
90
91.subtitle {
92  font-weight: 300;
93  font-size: 42px;
94  color: #526488;
95  word-spacing: 5px;
96  padding-bottom: 15px;
97}
98
99.links {
100  padding-top: 15px;
101}
102</style>
103

⑤サーバー起動
yarn run dev

⑥アプリケーションにアクセスする
http://localhost:3000/

アプリケーションにアクセスすると「Cannot read property 'auth' of undefined」と表示されてしまいます。
解決方法について探していますが、なかなか解決できません。
Firebase Admin SDKの初期化手順が間違っているのでしょうか？
そもそもnuxtアプリケーションにFirebase Admin SDKを導入することはできないのでしょうか？
Firebaseに詳しい方がいましたら、ご回答いただけないでしょうか
よろしくお願いいたします。