【Angular / Rxjs】next() に値を代入してもsubscribeで購読できない

【実現したいこと】
・Angularの勉強をしているものです。
・signupに成功した後、非同期通信を使って「login表記」を「logout表記」に変更したいです。

【現状のエラー】
・子コンポーネントからserviceを経由して、親コンポーネントの表記を変更できる構造を想定してます。

・子コンポーネントで、serviceにある 'subject' に 'next()' を使って値を代入し、
親コンポーネントにある 'subscribe' で購読して表記を変更しようと思っているのですが、購読できていない状況です。
（※親コンポーネント内の'subscribe'内にもうけた 'console.log' が値を表示してくれない）

もし、お分かりになる方がおられましたら、ご教示頂きたいと存じます。

【Angularのバージョン】

・Angular CLI: 9.1.9
・Node: 12.18.1
・OS: darwin x64

【Packageのバージョン】

@angular-devkit/architect         0.901.9
@angular-devkit/build-angular     0.901.9
@angular-devkit/build-optimizer   0.901.9
@angular-devkit/build-webpack     0.901.9
@angular-devkit/core              9.1.9
@angular-devkit/schematics        9.1.9
@angular/cdk                      9.2.4
@angular/cli                      9.1.9
@angular/material                 9.2.4
@ngtools/webpack                  9.1.9
@schematics/angular               9.1.9
@schematics/update                0.901.9
rxjs                              6.5.5
typescript                        3.8.3
webpack                           4.42.0

【コンポーネントの構造】

app.component.ts
 |
 |--- user.component.ts
   |
   |--- signup.component.ts

【コード】

app.component.ts

import { Component, OnInit, ChangeDetectorRef, ChangeDetectorRef } from '@angular/core';
import { AuthService } from '../shared/service/auth.service';
import { Subject } from 'rxjs';
import { takeUntil } from 'rxjs/operators'

@Component({
  selector: 'app-root',
  templateUrl: './app.component.html',
  styleUrls: ['./app.component.scss']
})

export class AppComponent implements OnInit {

  private _isLogined: boolean = false;
  private onDestroy$ = new Subject();

  constructor(readonly auth: AuthService,
              private changeDetector: ChangeDetectorRef) { }

  get isLogined(): boolean {
    return this._isLogined;
  }

  set isLogined(status: boolean) {
    this._isLogined = status;
  }

  ngOnInit(): void {
    this.auth.isLogined$
      .pipe(takeUntil(this.onDestroy$))
      .subscribe(status => {
　　　　　console.log(status);
        this.isLogined = status;
　　　　　this.changeDetector.markForCheck();
      });
  }

  ngOnDestroy() {
    this.onDestroy$.next();
  }
}

AuthService.ts

import { Injectable } from '@angular/core';
import { Subject, Observable } from 'rxjs';

@Injectable({
  providedIn: 'root'
})
export class AuthService {

  constructor() { }
  
  public _isLogined = new Subject<boolean>();

  get isLogined$(): Observable<boolean> {
    return this._isLogined.asObservable();
  }

  set isLogined(status: boolean) {
    this._isLogined.next(status);
  }
}

signup.component.ts

import { Component, OnInit, ChangeDetectorRef } from '@angular/core';
import { Router } from '@angular/router';
import { AccountService } from '../../../shared/api/account.service';
import { AuthService } from '../../../shared/service/auth.service';

@Component({
  selector: 'app-signup',
  templateUrl: './signup.component.html',
  styleUrls: ['./signup.component.scss']
})
export class SignupComponent implements OnInit {

  constructor(private account: AccountService,
              private auth: AuthService,
              private router: Router) { }

public onSubmit(userInput: string): void {
    this.account.signup(userInput)
      .subscribe(_ => {
        this.auth.isLogined = true;
        this.router.navigate(['/']);
      },error => {
        console.log(error);
      });
  }
}

・userがサインアップの情報を入力し終わると、signup.component の 'onSubmitメソッド' が呼ばれます。
・サインアップが成功すると、auth.service.tsにある 'isLogined' に値を代入され、'next()' が走る想定です。
・その上で、app.component.tsの 'ngOnInit()' 内にある 'subscribe' が購読をはじめ、'isLogined' に値が入り、
表記を変更する構図を思い描いています。

わかりづらい文章で申し訳ございませんが、何卒よろしくお願い致します。