WordPress自作テーマのtitleタグにサイトのキャッチフレーズが表示できない

古いWordPressテーマを新しい形式に対応するように修正中ですが、
以前のtitle出力方法ではなく、推奨にあたるadd_theme_support( 'title-tag' );に変更致しました。

変更後、titleタグ内のサイトのキャッチフレーズを表示できずにいます。

通常はフロントページ（トップページ）には、
「サイト名 | キャッチフレーズ」
が表示されるはずなのですが、
「サイト名」
しか表示されていません。

以下のように記述しています。

function.php

// WP4.1以降対応titleタグ出力
add_theme_support( 'title-tag' );

// 上記titleタグ出力内セパレーター変更
function custom_title_separator($sep) {
  $sep = ' | ';
  return $sep;
}
add_filter( 'document_title_separator', 'custom_title_separator' );

試してみたこと

別にテスト用環境があり、そちらにテーマのみを移した場合はキャッチフレーズが表示されました。
ですが、適用したいブログに持ってくると、表示されなくなります。

現在の状態

どうしても表示されないので、 function.phpにキャッチフレーズを記載しています。

//キャッチフレーズが表示されなく追加
function rewrite_title($title) {
  if (is_home()) {
      $title['tagline'] = 'キャッチフレーズの内容';
    }
  return $title;
  }
add_filter('document_title_parts', 'rewrite_title');

この方法で今は表示されています。
WordPressのバージョンは5.1.6となっています。

今のところ、上記の方法で表示されてはいますが、
出来れば、直接かかずに反映される方法にできればと思っています。

キャッチフレーズを消すというものは、色々なサイトでもあったのですが、最初から表示できていないという場合はないようで、悩んでいます。

WordPressテーマの修正については少しブランクがあり、新しい（推奨になった）テーマについては、原因も判らないままです。

どなたかお教え頂きたく、宜しくお願い致します。