Firebase Function (Google Cloud Function) から Cloud Scheduler を設定したい

Firebae Function (Google Cloud Function) を使用して、 Firetore の特定のデータ更新をトリガーに Google Cloud Scheduler を設定したいと思っています。

以下のようなコードで試したのですが、認証の部分でこけているのか、エラーが出てしまいます。

typescript
1import { CloudSchedulerClient } from "@google-cloud/scheduler";
2
3export const someFunction = functions
4  .region("asia-northeast2")
5  .firestore.document("/path/to/document")
6  .onUpdate(async (change, context) => {
7
8    // 処理開始
9    functions.logger.info("start");
10    const client = new CloudSchedulerClient();
11
12    // インスタンス生成
13    const pjid = await client.auth.getProjectId();
14    functions.logger.info("pjid", pjid);
15
16    // ジョブを作成
17    const [res] = await client.createJob({
18      job: {
19        pubsubTarget: {
20          topicName: "some-topic",
21          data: Buffer.from("test")
22        },
23        schedule: "* * * * *"
24      },
25      parent: client.locationPath("some project", "asia-northeast1")
26    });
27
28    // 終了
29    functions.logger.info("name: ", res.name)
30  });

Error
1Error: 7 PERMISSION_DENIED: Cloud Scheduler API has not been used in project XXXXXX before or it is disabled. Enable it by visiting https://console.developers.google.com/apis/api/cloudscheduler.googleapis.com/overview?project=XXXXXX then retry. If you enabled this API recently, wait a few minutes for the action to propagate to our systems and retry.
2    at Object.callErrorFromStatus (/workspace/node_modules/@google-cloud/scheduler/node_modules/@grpc/grpc-js/build/src/call.js:31:26)
3    at Object.onReceiveStatus (/workspace/node_modules/@google-cloud/scheduler/node_modules/@grpc/grpc-js/build/src/client.js:176:52)
4    at Object.onReceiveStatus (/workspace/node_modules/@google-cloud/scheduler/node_modules/@grpc/grpc-js/build/src/client-interceptors.js:342:141)
5    at Object.onReceiveStatus (/workspace/node_modules/@google-cloud/scheduler/node_modules/@grpc/grpc-js/build/src/client-interceptors.js:305:181)
6    at process.nextTick (/workspace/node_modules/@google-cloud/scheduler/node_modules/@grpc/grpc-js/build/src/call-stream.js:124:78)
7    at process._tickCallback (internal/process/next_tick.js:61:11)

ここで、エラーの方に出ている XXXXXX (数字)と、ソースの方にある pjid(文字列) の出力は全く違うものを指しています。
new CloudSchedulerClient() の引数に keyFilename や projectId も入れて試してみたのですが、全く同じエラーが出ました。
もしかすると keyFilename の指定方法が Firebase Functions に乗る事によって若干変わるのかもしれませんが、調べきれませんでした。

エラーにある

https://console.developers.google.com/apis/api/cloudscheduler.googleapis.com/overview?project=XXXXXX

ですが、そのままアクセスすると閲覧権限が無い旨が表示されます。XXXXXX に正しいプロジェクトID (pjid) を入れると、正しくダッシュボードが表示されて、APIが有効になっていることが分かります。
別フォルダで CloudSchedulerClient を単体で試した時はうまくいったので、やはりAPIが有効になっていないという事はないと思います。

ご存じの方いらしゃいましたら、ご教授頂けますと幸いです。