Firebase auth で作成したuidをFirestoreのdocument idとして使いたい

Question

前提・実現したいこと

• Firebase初心者です。過去質問で具体的なコードを発見できなかったため質問させて頂きます。よろしくお願いします。
• 前提：Vue.js + Firebaseでwebアプリケーションを作成しており、その中でユーザ登録の仕組みを構築中です。Firebase auth のメール登録を利用します。
• 実現したいこと：アプリケーション中で各ユーザが持つデータはFirestoreで管理したいと思っています。今後の利便性確保のため、初回登録時にauth側で設定されるユーザidをidとして、usersコレクションに新規ドキュメントを作成したいと考えています。

発生している問題・エラーメッセージ

• Firebase auth は成功しますが、その後にドキュメント作成が実行できません。とくにエラーメッセージも発生しておらず解析ができていません。

該当のソースコード

methods: {
  register: function(){
    firebase.auth().createUserWithEmailAndPassword(this.user_mail, this.user_password)
    .then(function(){
      db.collection('users').doc(firebase.auth().currentUser.uid).set({
        displayName: "Test",
      })
    })
    .catch(function(error){
      console.log('something goes wrong on auth: ',error)
    })
  }
}

.setのあとに.catch(function(error))もつけていましたが、エラーコードが出てこなかったためいったん削除しております。

試したこと

• .setがうまく機能していないか確認するために、別メソッドで単純にsetを行ってみました。こちらは成功しました。

methods: {
  test: function(){
    db.collection('users').doc('new_user').set({
      displayName: "Test",
    })
  }
}

• createUserWithEmailAndPassword().then() の then()内部が実行されていないのか？と考えて、下記の通り実行してみたところ正しくuidが出力されました。

methods: {
  register: function(){
    firebase.auth().createUserWithEmailAndPassword(this.user_mail, this.user_password)
    .then(function(){
      let uid_ = firebase.auth().currentUser.uid
      console.log(uid)
    })
    .catch(function(error){
      console.log('something goes wrong on auth: ',error)
    })
  }
}

補足情報（FW/ツールのバージョンなど）

vue cli 4.4.0