【Rails】ancestry の子要素、孫要素にプルダウン未選択時のバリデーションをかけたい

Question

ancestry の子要素、孫要素にプルダウン未選択時のバリデーションをかけたい

railsでフリマアプリを制作しております。
商品出品時にancestryを用いてカテゴリーの選択欄をプルダウン方式で表示させているのですが、
子カテゴリー、孫カテゴリーを未選択で商品出品をした場合でも投稿ができてしまいます。
そこでjqueryを用いて子、孫カテゴリーを未選択の状態でsubmitした場合、アラートで「選択してください」
という案内を出来るようにしたいです。

発生している問題・エラーメッセージ

該当のソースコード

  $('.sell-button__link').on('click', function(e) {
    e.preventDefault();

    var children_wrapper = $('.children_wrapper').val();
    if (children_wrapper >= 1 ) {
      $('.sell-button__link').submit();
    } else {
      alert('カテゴリーを選択してください')
    };
  });

試したこと

上記の記述で良いところまでは行ったのですが、条件に関係なくアラートが出てきてしまいます。
JSのことを深く理解できていないので、出来ましたら詳細まで教えていただけたらと思います。

補足情報（FW/ツールのバージョンなど）

ここにより詳細な情報を記載してください