scale関数を使わないベクトルの正規化について

Question

Rstudioにおいて、scale関数を使わずにベクトルの正規化をしようと思い、取得したベクトルの平均と標準偏差を使って
センタリングとスケーリングを行っているのですが、分散が1ぴったりにならなくて困っています。

（ソースコード）

data_11<-c(2,2,2,3,3,3,4,4,4)

seikika<-function(x)
{
av<-mean(x)
y<-x-av
ss<-sqrt(sum((x-av)^2)/length(x))
yy<-y/ss
print(mean(yy))
print(var(yy))
return(yy)
}

seikika(data_11)

（実行結果）

data_11<-c(2,2,2,3,3,3,4,4,4)

seikika<-function(x)

• {
• av<-mean(x)（平均の算出）
• y<-x-av（センタリング）
• ss<-sqrt(sum((x-av)^2)/length(x))（標準偏差の算出）
• yy<-y/ss（スケーリング）
• print(mean(yy))
• print(var(yy))
• return(yy)
• }

seikika(data_11)

[1] 0
[1] 1.125（ここがどうしても1になりません）
[1] -1.224745 -1.224745 -1.224745 0.000000 0.000000
[6] 0.000000 1.224745 1.224745 1.224745

（試したこと）
標準偏差の算出において、(length(x)-1)に置き換えると分散が1ちょうどになるのですが、仕組みが分かりません。

Answer 1

var()は不偏分散を求める関数です。
この式では標本分散に基づいてz得点を算出しているにも関わらず、出力で不偏分散を求めているので
■（試したこと）
■標準偏差の算出において、(length(x)-1)に置き換えると分散が1ちょうどになる
ということが起こっています。

不偏分散：偏差の二乗の合計をデータの個数-1で割ったもの、すなわちsum((x-av)^2)/(length(x)-1)
標本分散：sum((x-av)^2)/length(x)
です。
ちなみに、sd()で求められる標準偏差も、不偏分散の平方根です。

Answer 2

コードの分散の確認を行っている箇所

print(var(yy))

ですが、

Rでのvar関数はデータ数(N)で割る標本分散ではなく、(N-1)で割る不偏分散となります。

標準分散を計算で求めると結果として1が得られると思います

sum((yy - mean(yy))^2) / length(yy)
# [1] 1

(不偏分散) x (N-1) / N
でも求まります。

var(yy) * (length(yy) - 1) / length(yy)
# [1] 1