pwa+vue+routerでアイコン起動で初期画面が表示しない

PWAアプリをvueで作成しています。
※アプリって言っても、いいんでしょうか？？？(^^;

やってること）
vue create proj01

な感じで、生成したアプリを触っています。
今回複数ページが必要なので、router を指定して生成しています。

現象）
ブラウザで表示したときは、1ページめが表示されるのですが、
アイコンから起動した時、index.htmlのみが表示され、1ページめが
表示されません。

manifest.jsonのstart_urlを、生成時の"./index.html"から
URLに変更して、アイコンから起動したところ、1ページめが表示される
ようにはなったのですが、「ホームページに追加します」のイベント(？)が
発生しなくなりました。

質問）
「ホームページに追加」機能を活かしながらアイコンから起動した際も、
routerで指定された1ページめが表示される方法を教えて下さい。

ソースは生成された、ほぼそのままで、アイコンの指定のみを変えています。

manifest.json
1{
2  "name": "proj02",
3  "short_name": "proj02",
4  "icons": [
5    {
6      "src": "./img/icons/icon-192x192.png",
7      "sizes": "192x192",
8      "type": "image/png"
9    },
10    {
11      "src": "./img/icons/icon-512x512.png",
12      "sizes": "512x512",
13      "type": "image/png"
14    }
15  ],
16//  "start_url": "./index.html",
17  "start_url": "/app/pwa/test/",
18  "display": "standalone",
19  "background_color": "#000000",
20  "theme_color": "#4DBA87"
21}

index.html
1<!DOCTYPE html>
2<html lang="en">
3  <head>
4    <meta charset="utf-8">
5    <meta http-equiv="X-UA-Compatible" content="IE=edge">
6    <meta name="viewport" content="width=device-width,initial-scale=1.0, maximum-scale=1.0, minimum-scale=1.0">
7    <link rel="icon" href="<%= BASE_URL %>favicon.ico">
8    <link href="https://fonts.googleapis.com/css?family=Noto+Sans+JP&display=swap" rel="stylesheet">
9
10    <link rel="apple-touch-icon" href="<%= BASE_URL %>img/icons/apple-touch-icon-72x72.png" sizes="72x72">
11    <link rel="apple-touch-icon" href="<%= BASE_URL %>img/icons/apple-touch-icon-114x114.png" sizes="114x114">
12    <link rel="apple-touch-icon" href="<%= BASE_URL %>img/icons/apple-touch-icon-120x120.png" sizes="120x120">
13    <link rel="apple-touch-icon" href="<%= BASE_URL %>img/icons/apple-touch-icon-144x144.png" sizes="144x144">
14
15    <title>RecepaQ</title>
16  </head>
17  <body>
18    <noscript>
19      <strong>We're sorry but proj02 doesn't work properly without JavaScript enabled. Please enable it to continue.</strong>
20    </noscript>
21    <div id="app"></div>
22    <!-- built files will be auto injected -->
23  </body>
24</html>

main.js
1import Vue from 'vue'
2import App from './App.vue'
3import router from './router'
4import store from './store'
5import './registerServiceWorker'
6
7Vue.config.productionTip = false
8
9new Vue({
10  router,
11  store,
12  render: h => h(App)
13}).$mount('#app')

App.vue
1<template>
2  <div id="app">
3    <div id="nav">
4      <router-link to="/">Home</router-link> |
5      <router-link to="/about">About</router-link>
6    </div>
7    <router-view/>
8  </div>
9</template>
10
11<style>
12#app {
13  font-family: 'Avenir', Helvetica, Arial, sans-serif;
14  -webkit-font-smoothing: antialiased;
15  -moz-osx-font-smoothing: grayscale;
16  text-align: center;
17  color: #2c3e50;
18}
19#nav {
20  padding: 30px;
21}
22
23#nav a {
24  font-weight: bold;
25  color: #2c3e50;
26}
27
28#nav a.router-link-exact-active {
29  color: #42b983;
30}
31</style>