MySQLが起動できない

前提・実現したいこと

MySQLが動作中にMacがフリーズし、再起動したらMySQLが壊れてstartできなくなった。
~~エラーログも中身が空のままで自己解決が困難な状況です。~~ ⇨エラーログは出力されるようになりました。
ご指導いただけませんか？

以下のページに記載されていることは試行いたしましたがこのケースでは改善しませんでした。
MySQLが起動しない
 MySQLを起動していない $ mysql.server restart
Mac MySQLをきれいにアンインストールしてからインストールする

（解決後追記:以下のサイトの通りにすると治りました。）
mysqld: File './mysql-bin.index' not found (Errcode: 13)

発生している問題・エラーメッセージ

terminal
1ERROR 2002 (HY000): Can't connect to local MySQL server through socket '/tmp/mysql.sock' (2)
2ERROR 2002 (HY000): Can't connect to local MySQL server through socket '/tmp/mysql.sock' (38)

/tmp/mysql.sockが存在する間は(38)、消している間は(2)

terminal
1Starting MySQL
2.Logging to '/usr/local/var/mysql/mac.local.err'.
3 ERROR! The server quit without updating PID file (/usr/local/var/mysql/mac.local.pid).

sudo touch /usr/local/var/mysql/mac.local.pidして作ってもsudo mysql.server startの度に消えていた。
またエラーログの　/usr/local/var/mysql/mac.local.err がなかった。
/user/local/var/mysql/mac.local.err

err
1mysqld: File './binlog.index' not found (OS errno 13 - Permission denied)
22019-07-07T04:34:13.386390Z 0 [System] [MY-010116] [Server] /usr/local/Cellar/mysql/8.0.16/bin/mysqld (mysqld 8.0.16) starting as process 5879
32019-07-07T04:34:13.389838Z 0 [Warning] [MY-010159] [Server] Setting lower_case_table_names=2 because file system for /usr/local/var/mysql/ is case insensitive
42019-07-07T04:34:13.395544Z 0 [ERROR] [MY-010119] [Server] Aborting
52019-07-07T04:34:13.395718Z 0 [System] [MY-010910] [Server] /usr/local/Cellar/mysql/8.0.16/bin/mysqld: Shutdown complete (mysqld 8.0.16)  Homebrew.
6mysqld: File './binlog.index' not found (OS errno 13 - Permission denied)
72019-07-07T04:35:48.364996Z 0 [System] [MY-010116] [Server] /usr/local/Cellar/mysql/8.0.16/bin/mysqld (mysqld 8.0.16) starting as process 6004
82019-07-07T04:35:48.368435Z 0 [Warning] [MY-010159] [Server] Setting lower_case_table_names=2 because file system for /usr/local/var/mysql/ is case insensitive
92019-07-07T04:35:48.370957Z 0 [ERROR] [MY-010119] [Server] Aborting
102019-07-07T04:35:48.371125Z 0 [System] [MY-010910] [Server] /usr/local/Cellar/mysql/8.0.16/bin/mysqld: Shutdown complete (mysqld 8.0.16)  Homebrew.

試したこと

上記メッセージでGoogle検索したところソケットを作り直して権限を付与すれば治ると書いてあったので以下のコマンドで作り直しましたが
改善しませんでした。

sudo rm /tmp/mysql.sock
sudo touch /tmp/mysql.sock
sudo chown mysql:mysql /tmp
sudo chmod 777 /tmp/mysql.sock
sudo mysql.server start

PIDファイルに関してはsudo touch /usr/local/var/mysql/mac.local.err とすると消えなくなりましたが、
このエラーログには何も記録されないままです。

以下のサイトを参考に下記コマンドでクリーンインストールしてやり直しましたが何も改善されません。
https://e-joint.jp/639/

brew uninstall mysql

sudo rm -rf /usr/local/mysql
sudo rm -rf /Library/StartupItems/MYSQL
sudo rm -rf /Library/PreferencePanes/MySQL.prefPane
sudo rm -rf /Library/Receipts/mysql-.pkg
sudo rm -rf /usr/local/Cellar/mysql*
sudo rm -rf /usr/local/bin/mysql*
sudo rm -rf /usr/local/var/mysql*
sudo rm -rf /usr/local/etc/my.cnf
sudo rm -rf /usr/local/share/mysql*
sudo rm -rf /usr/local/opt/mysql*

brew install mysql

既にバックグラウンドで起動していないか確認するために以下のコマンドを試しましたが何も起動していません。