背景がグレーっぽい色で、Spinnerの部分だけ白色になっているようなデザイン
そのままの意味にとらえると
スクリーン全体がグレーにすればいいのではないでしょうか
例えば、
<?xml version="1.0" encoding="utf-8"?>
<LinearLayout xmlns:android="http://schemas.android.com/apk/res/android"
xmlns:tools="http://schemas.android.com/tools"
android:layout_width="match_parent"
android:layout_height="match_parent"
android:background="#aaa"
android:orientation="vertical"
tools:context=".MainActivity">
...
<Spinner
android:id="@+id/spinner"
android:layout_width="200dp"
android:layout_height="wrap_content"
android:layout_margin="20dp"
android:background="#fff" />
...
</LinearLayout>
Spinnerの中の背景と要素の色を変えたいのであれば
Adapterでレイアウトを指定することでできます
バッドをするには、ログインかつ
こちらの条件を満たす必要があります。